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宁波大学-数值方法 (3).ppt

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第六章 插值 /* Interpolation */,当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时,在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数来逼近f(x) 即 g(x)  f(x), 自然地,希望g(x) 通过所有的离散点,即满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。,,,,g(x)  f(x),,应用:,查三角函数表、对数表、平方根表等机械加工中,计算机图形学、图形图像编解码中的应用也很广泛,多项式!,这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 …?,简单易算?,§1 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */,n = 1,可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */, 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */,例1:已知 ,利用插值一次多项式求 的近似值。,,,解: 设,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由 lg10 和 lg20 两个值的线性插值得到lg12,且具有两位有效数字。,于是,拉格朗日型一次插值多项式为:,则插值基本多项式为:,2、二次插值,,??? 不妨令,于是得二次插值或是抛物线插值函数:,若记:,你来给我想一个好记忆的Li(x)的统一形式:,呵呵,这下我记住了。,例2:已知:,,,利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。,,,,,,利用三个点进行抛物插值得到的lg12的值,与精确值相比,具有3位有效数字,精度提高了,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好,嘿嘿……,§1 Lagrange Polynomial,n  1,,,,Lagrange Polynomial,与 有关,而与 无关,节点,f,§1 Lagrange Polynomial,证明: ( p.105-106 利用Vandermonde 行列式论证),例3.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。,解:用4次插值多项式对5个点插值。,,,,,,,,,,所以,但绝对不是次数越高就越好,嘿嘿……,,例:在[5, 5]上考察 的Ln(x)。取,n 越大, 端点附近抖动 越大,称为 Runge 现象,function inter_y=lag_func(x,y,xi) % 其中x,y为已知的数据点及其函数值 % xi为待插值数据点,,n=length(xi);,,,inter_y=0;,end,for j=1:n,if j~=i,a=a*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));,a=1;,end,inter_y=inter_y+a*y(i);,for i=1:n,end,function inter_y=lag_func(x,y,xi) % 其中x,y为已知的数据点及其函数值 xi为待插值数据点,n=length(x);,,inter_y=0;,for j=1:n,if j~=i,a=1;,end,讲解编程,加深对算法的理解,掌握算法编程,,,,分层设计,课后思考:如果当等插值数据点不只是单个数据点,而是一个数组呢?,课后思考:如果当等插值数据点不只是单个数据点,而是一个数组呢?,When you start writing the program, you will find how easy it is to calculate the Lagrange polynomial.,Oh yeah? What if I find the current interpolation not accurate enough?,Then you might want to takemore interpolating points into account.,Right. Then all the Lagrange basis, li(x), will have to be re-calculated.,Excellent point ! We will come to discuss this problem next time.,§2 牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */, 差商(亦称均差) /* divided difference */,,1阶差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. x
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