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大学材料力学C06 弯曲变形17.ppt

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大学材料力学C06 弯曲变形17.ppt
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第六章 弯曲变形,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,度量梁变形后横截面位移的两个基本量,挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移, 称为该截面的挠度。,,,,y,x,A,B,C,转角(): 横截面对其原来位置的角位移, 称为该截面的转角。,取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,,F,,挠度和转角符号的规定********,挠度:在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。,转角:自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。,,,,y,x,A,B,C,,,,C1,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,,F,,必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向也有线位移。,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长, 横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量, 可略去不计。,,挠曲线:梁变形后的轴线称为挠曲线。,挠曲线方程:,式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该点的挠度。,,,,y,x,A,B,C,,,,C1,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,,F,,挠度与转角的关系:,,,,y,x,A,B,C,,,,,C1,6.1 工程实际中的弯曲变形问题,,F,,6.2 挠曲线的近似微分方程,横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响, 则,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,曲线向上凸 时: w’’0, M<0,因此, M与w’’的正负号相同。,,,,M<0 w’’0,M>0 w’’0,曲线向下凸 时: w’’0, M>0,由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,近似原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略去了w'2项。,再积分一次, 得挠度方程,上式积分一次得转角方程,若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成,式中:积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。,6.3 积分法求弯曲变形,在简支梁中, 左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。,在悬臂梁中, 固定端处的挠度wA和转角A都应等于零。,边界条件,,wA=0,wB=0,,wA=0,qA=0,,,,连续性条件,在挠曲线的任一点上, 有唯一的挠度和转角。,不可能,不可能,例1:图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。,,A,B,,,,l,,,x,y,解:以梁左端A为原点, 取直角坐标系, 令x轴向右, y轴向上为正。,(1) 列弯矩方程,,F,(2) 列挠曲线近似微分方程并积分,(3) 确定积分常数,代入式(a)和(b), 得:,C1=0, C2=0,在x=0处, w=0 , q=0,,A,B,,l,,,x,y,,F,(4) 建立转角方程和挠度方程,将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁的转角方程和挠度方程分别为:,(5) 求最大转角和最大挠度,自由端B处的转角和挠度绝对值最大。,,所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。,,l,A,B,q,例2: 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大转角max 。,,,x,y,解: 由对称性可知, 梁的两个支反力为,梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,积分两次,简支梁的边界条件是,在x=0处, w=0,在x=l处, w=0,代入(c)、(d)式确定出积分常数,由对称性可知, 在两端支座x=0和x=l处, 转角的绝对值相等且都是最大值,在梁跨中点l/2处有最大挠度值,,例3:图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并求其最大挠度和最大转角。,,l,A,B,F,,,,,a,b,D,解: 求出梁的支反力为,将梁分为I和II两段, 其弯矩方程分别为,I,II,两段梁的挠曲线方程分别为,积分一次得转角方程,再积分一次得挠曲线方程,挠曲线方程,在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩项可以不展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。,D点的连续性条件:,在x = a处, q1=q2, w1=w2,边界条件:,在x = 0处, w1=0,在x = l处, w2=0,代入方程可解得:,将积分常数代入得,转角方程,挠曲线方程,将x = 0
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