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第二章_有心运动和两体问题_习题解答.doc

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第二章_有心运动和两体问题_习题解答.doc
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第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie12.1、质点在有心力 的作用下运动,质点的速度的大小为 ,这里 a 是常数。()Fr /vr已知 时 ,速度与矢径间夹角为 。求质点的轨道方程。00解:质点受到有心力的作用,在极坐标系中有: ,2rh222()()ahvrr化简得: ,变形有:2 2drrhdaht分离变量: ,积分有: c 为积分常数21()1adrh2()1ache初始条件: 时 00代入初始条件可得: ,故0lnrc2()10ahe又速度与矢径间夹角为 ,与 比较可知:rvhtgtrctgr  2rh22()1ahctacth所以质点的轨道方程为: 0ctgre2.2、木星轨道的半长轴长度是 5.2 天文单位(1 天文单位为 ,是太阳与地球的平81.50km均距离)。已知地球和木星的轨道都接近圆形。求出(i)木星绕太阳运动的周期(ii)木星的平均轨道速率。解:(i)由牛二定律知: ,22=mGrr木 星 太 阳 木 星 木 星 木 太木 太 22Grr地 球 太 阳 地 球 地 球 地 太地 太可解得: ,式中3/2()1.9地 太木 星 地 球 地 球 木 太 1地 球 年(ii)因接近圆形 9.60.2.0vrr木 星 木 星 木 太 地 球 木 太 地 球 地 球2.3、月球的质量和半径分别是 和 ,其中 分别是球球的013em73eR,emR质量和半径。已知地球半径约为 6370km,试求(i)月球表面处的重力加速度第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie2(ii)若在月球表面发射火箭,使之脱离月球,则火箭的发射速度至少是多少?解:(i)物体(质量为 )在月球表面处受到的重力可看是成有引力的体现:'m 2''mgGR同理此物体放在地球表面时有: 2''emgGR两式相除有: 2 221'()9.803()/.6/.7eRg ssm(ii)只考虑火箭( 质量为 )和月球之间的引力,那么火箭和月球机械能守恒(取无穷远处为'0 势能)。火箭刚好脱离月球时,火箭的最小速度为 0,势能为 0,若月球的势能为 V,则有: 2minmin1'' 2'.546'2.38/eGVvGVvgRgkmsR2.4、如果质点受到的有心力为 ,式中 及 都是常数,并且 。23()rFe2h试证其轨道方程可写为: ,式中 , ,/(1cos)raek2h2ka,A 为积分常数,2khe2h解:代入比内公式有:223()()duFmuh化简为:2220duh正是简谐振动方程,故其通解为: ,A 为积分常220dh 2coshu数观察 的形式,显然有特解 ,代入可得:222uc2ch所以 的通解为:2220dh221oshuAr第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie3从而222221coscos1hrhAA由已知 , , ,代入可得:2k2ka2khe/(cos)raek2.5、一质点受遵循万有引力定律的有心力作用,作椭圆运动。 和 是过椭圆中心一直1P2径的两端, 和 分别是质点在 和 处的速率。证明当 和 不是短轴端点时1v21P2, 是质点在短轴端点处的速率21b证明:如图所示,由于椭圆具有中心对称性,所以设 的坐标为 和 的坐标为1P0(,)xy2P, , ,由椭圆的定义知 , 到准线0(,)xy212'PFr1PFr2ra1的距离为 ,由椭圆的定义知2ac0xc120cax即 10ra那么2121000()()()ccrxaxa质点受到万有引力定律的有心力作用,机械能守恒:在 有:1P21kmvEr在 点有:22在短轴端点有:21bkmvEa那么有:Fo' x1r2by20(,)Px0(,)Py2ac第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie44 422 2121121 14 4122220()()()4()rkkmvEkEkrraakcx2424 22241 1() ()bkmvEEkaEkaa因 和 不是短轴端点,故 ,所以 ,即1P220x2241)bmvv21bv2.6、设地球的半径为 ,质量是 。证明人造卫星在地球引力场中以椭圆轨道运动的速R'率由下式表示: 。其中, 是质点能脱离地球的逃逸速度,1()2evra'eGR即第二宇宙速度; 是卫星轨道半长轴的长度。证明:由平方反比引力下质点椭圆轨道极坐标方程 知:221cos1csmhpkreA
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