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不定积分习题.doc

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1、习题课(六)内容: 不定积分的概念及积分方法基本要求:1.理解原函数与不定积分的概念。2.掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3.掌握不定积分的积分方法。4.会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲:一.原函数与不定积分的概念1. 原函数定义:在区间 上,若 (即 ) ,称函数I)(xfF dxfdF)(是函数 在区间 上的一个原函数。)(xF)(xf2. 原函数存在的条件:若函数 在区间 上连续。则 在区间 上有原函)(xfI)(xfI数。3. 不定积分:函数 在区间 上的所有原函数 称为 在区间 上)(fICF)()(fI的不定积分,记作 .。

2、xd)(4. 不定积分与导数的关系:(1) 先积分再求导(或微分),或 ;)(])([xfdf dxfxfd)(])([(2) 先求导(或微分)再积分,或 .CF)()(CF)(5. 不定积分的线性性:(1) ;dxfkxf)()((2) .dxgg)(][二.基本积分公式(略)三.不定积分的方法1. 拆项积分法:利用不定积分的线性性,将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分,从而进行积分。 (关键体现在拆项上,例如:通过有理化;利用三角公式;在分子上加一项,减一项等都是常用的手段) 。2. 凑微分法: .CxFdxfdxf  )]([)。

3、(][)(][ 主要用来解决复合函数的积分(确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分) 。要熟练常用的几个凑微分式子:(1) ; )()(1)( baxdfadxbf 0((2) ;)0()1111   aff(3) ;xdfdxln)()(ln(4) ;xeef(5) ;xfarct)(rt1)(arct2(6) ;dfdxf sinisin2(7) ; xff i)(sco)(i(8) ;dxdcossn(9) ; xff tan)(tec)(ta2(10) ;xsectas(11) .)(ln)()( Cffdxf 。

4、多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元:换元名称 被积函数特点 具体换元公式 换元目的含有 2xatasin含有 三角换元含有 txantsec去根号化为有理函数或三角含有 nbaxnbaxt根式换元根式换元含有 ndcndct函数有理式的积分倒代换 分母幂次比分子幂次较高tx1降低分母幂次4. 分部积分法: dxvuxvdxvu )()()(或主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好 与 的)(xuv选取,原则是 好找原函数, 的导数简单,积分 积分)(xv )(xud容易(至少不难) 。要掌握以下几种常见类型的分部积分:dx。

5、u)(被积函数类型 条件 取作)(x取作)(xv目的幂函数×三角函数 正整数次幂 幂函数 三角函数 降低幂次幂函数×指数函数 正整数次幂 幂函数 指数函数 降低幂次幂函数×对数函数 实数次幂 对数函数 幂函数 去掉对数函数幂函数×反三角函数 实数次幂 反三角函数 幂函数 去掉反三角函数指数函数×三角函数 与 任取,用两次分部积分,出现“打回头”)(xuv四.几类特殊函数的积分例题精讲1.若 ,求函数Cexdf)1() ).(xf解:(本题考核导数与积分的关系。 给出不定积分,求被 积 函数,只需对等式两边求导)对等式两边同时求导,有 .)1()(xxef2.若函数 满足 ,且。

6、 ,求函数)(xf 22sectan 0f).(xf解:(本题也是考核导数与积分的关系。 给出导数,求原函数,只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是 ,或先将式子 改写为 ,再两x2t xf22sec)(tan xf1)(边求积分)对等式两边同时求积分,有 .)(tan21ttan)t1(tansectan)(2 22222Cx xdxdxdff  所以, ,由 ,得 ,于是f 1)0(fC.21)(xxf3.设函数 求不定积分.,sin,)(xxf .)(df解:(这是分段函数求不定积分问题,要注意原函数 在分界点处应连续).)(xfxF当。

7、 时, ;0x CxdxfxF2)()()(当 时, . 1cossinf有 ,有 ,得 .)0(()0 1C所以, .0,cos1,2)( xxdxf4.若 的一个原函数为 ,求不定积分)(f 2ln.)(dxf解:(尽管这也是考核原函数概念的题目,但是由于在被积函数中出现了一个函数与的导数 乘积的形式,因此首先要 进行分部积分))(xf)(xf由 的一个原函数为 ,即 ,所以 .x2lnCxdf2ln)( xfln2)(于是, .)()(fdxf 5.设函数 是 在 时的一个原函数,满足 ,且Ff0 2)1()(xeFxf, 。

8、. 求函数 .1)0()(x)(xf解:(本题还是考核原函数概念。由于在条件 中同时出现了2)1()(xexf与 ,为方便都统一于 ,然后再 积分))(xfF)(xF由 是 的一个原函数及 ,有 ,)(xf 2)1(xef2)1()(xeFx对上式两边同时求积分,得2)(xF )1(2)1(2)( xdedxedx .Cexxx )(1(由 及 ,得 ,且 ,)0(F0)(xCxeF1所以, .2/3)1()()( xedxFxf 6.求下列不定积分(本例都是典型的、常 见的凑微分类型,有些题目要经过多次凑微分)(1) ; (2)。

9、 ;xln4)(xed(2) ; (4) ;22arcsi4xdx21arctn(5) ; (6) .otn dxcosintl解:(1) )l1(l)(ln1xdx.Cxx ln12)ln(32)l(]ll[ /3(2) )()1(2)1()( 24424  xxxx edeeded])()(1[4232xxx.CeCeexxx  32322 )1()1(6)1(4(3) .Cxddd xxxx  2arcsinlarcsinarcsi)(arcsin22222(4) )(]1[t])(1[t。

10、1t 122 xxx .Cd 2)arctnarctnrt(5) .Cxdxdxx cos2(ososios 23(6) dtantlctanlcintal 2.Cxxl1ltl7.求下列不定积分(本例都是有理函数的积分,有理函数的积分不一定都拆成部分分式)(1) ; (2) ; (3) .dx323)1(xd)1(28xd解:(1)(本题除了利用部分分式,没有太好的办法。).312arctn)1(ln3 )(rta)l(l2()12(3ln)132 23132 223 Cxxxdxxd(2)(本题属。

11、于 型, 可以凑成 型 )dRnndxR(.)1(ln31 ]1)([3]()[ 113)(3 3323 32332Cx xdxdxx (3)(本题由于分母的幂次相 对于分子的幂次较高, 因此应当用到代换.)令 , 则 , 于是tx12td.1arctn3157)arctn37()(1)5 2246288 CxxxCtt dtttx 8.求下列不定积分(本例都是三角函数有理式的积分,能不用万能代换的,尽量不用万能代换,通常都可以用凑微分求解)(1) ; (2) ;dx4sinco dx42costani(3) ; 。

12、 (4) .2i i解:(1) (本题属于 型)xdfcos)(i.)arctn(si21)(sin12sini1sin1co 2244 Cxxdxddx (2) (本题属于 型,可作代换 . 也可以直接凑微R)ta,co,(i22 t分).2tan3t4tant)tant(tan)sec(costi23 2242 Cxxdxxd(3)(本题有两个关键点,一是要 统一角度,二是要将分母上的两项之和化为一项).)tanseclco1sin(4sec41)tansecltan(sec41 2)taelta(2 cosin12)sico21ssi 23 3 Cxx。

13、Cxxx dddxxxd   (4) (本题解法很多,下面仅 介绍几种有代表型的解法)方法一:本题可以通过拆项的方法求解 .)cosinl(21]cosin)([21 )cosin1(2s(i)cisi Cxxxd dxd  方法二(伴侣型积分):记 , . 则dIsi1 dxIcosin2.csilcosin)(cosin.i21 CxxdxI 两式相加,得 i .)il(21I方法三:为将分母化为一项,分子、分母同乘 ,则snCxxxdxdd  )2sectanl21cosln(21)se。

14、c2tan1( oiiosinosi 22.)cosinl(21Cxx方法四:分子、分母同乘 ,通过两角和公式将分母唤为一项,则2/).2ln1(.)cosinl(21 )4/si()4//(t /si()/co/i1csi 1 Cxx Cxdd dxx 方法五:分子、分母同除 ,然后 令 ,则 , ,于是xtatarc21tdx.)cosinl(21)ln)1l(2(arctn1 1()taosi2 22CxxCtttdxdx  方法六:用万能代换,令 ,则uxta.]2tant21ln)ta1ln([2arct )211())。

15、(4osin2222Cxxxuu duuddx 9.求下列不定积分(本例都是无理函数积分,如果能 够通 过凑微分求解,当然最好;如果不能用凑微分求解,就要设法去根号)(1) ; (2) ;dx234 12xd(3) ; (4) .32解:(1)本题属于 类型,直接凑微分即可,当然也可以用三角代换xdf)(2 txsin2方法一: 2223 4)](4[14dxx .)4(3)(51)([1 2/32/5/1/3 Cxx 方法二:令 ,则 ,于是tsin2tdcos2.)4(3)4(51cos32s5coscos2。

16、csin4 2/3/5233 CxxCtt tdttddx (2)方法一: 时,令 ,0x/0ect.1arcostansec12 xtdd时,方法类似,结果为0x .r12Cx方法二:本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。当 时,令 ch ( ) , (当 时,方法类似,结果相同)xxt0.1xarctnCsh t)arcn(sh1 ch 1 2222 Ctdtd 方法三:本题特别,作代换 ,也可以达到去根号的目的。x当 时,令 ,则 , ,于是0xt1221t21tdx.arcnarctn)(222 CCt。

17、dtxd 当 时,方法类似,令 ,则 ,结果相同0x121tx方法四:由于分母上 x 的幂次比分子上 x 的幂次高一些,因此可考虑倒代换,令 ,则 . 于是,当 时,有tx12td0.Cxttd  1arcsinarcsin22当 时, .0x ttdxriri122(3)本题解法也较多,各种解法的目的都是取根号。方法一:按 类型作。dxcbaxRn),(令 ,则 ,于是txn122)1(,1tt  2222 11)1( tdttdtdx .arctnarctn22 CxCt方法二:分子、分母同乘 ,转化为 型x。

18、dxcbaR),(2.)12arcsin(])()2/1()/[21][ 222 22 Cxxxdxdxx  (注:转化为 后,也可以用代换 求解)2 ti方法三:令 ,则 ,于是txsintddxcosin.arcsin 2sin)1(cos21Cx Ctttd(4)本题不是常见的典型题,这里出现了复合函数,当一时看不到解法时,可以考虑用中间变量作代换进行试解。如 该题可考虑的换元有: 、 、32xt3t321xt或 ,通过试解,发现第二和第四种换元更好一些。321xt方法一:不妨设 ( 时也类似)令 ,则 , ,于是0x3xt3t。

19、dtx2.13)1(2)1(53)1(1)(2)(21322/3/52/2/ 2532 Cxxxttt ttdtxd (注:转化为 后,也可以再作代换 求解)25tdutan方法二:令 ,则 , ,于是31xt32)1(t dttdx12.13)1(2)1(53)25(322//5 32Cxxxttdtd10.求下列不定积分(本例都属于分部积分类型)(1) ; (2) ; (3) ;dx3sincodx2/3)1(lndx1arcsin(4) ; (5) , (6) .)(art2xeex)l(解。

20、:(1)本题属于幂函数(正整数次幂)×三角函数类型的积分,要试图先将三角函数凑到微分号后面,即先求出三角函数部分的积分。.)cotsin(21)sini(21isco2233 Cxxdxd(2)本题属于幂函数(非正整数次幂)×对数函数类型的积分,要试图先将幂函数凑到微分号后面,微分号外面只留对数函数。.1ln1l )1ln(l)/(l 1lnl)1(ln2)1(ln22 222 222/3/32Cxx Cxxxdx xdd   (3)本题属于幂函数(非正整数次幂)×反三角函数类型的积分,要试图先将幂函数凑到微分号后面,微分号外面只留反三角函数。C。

21、xxxdx dx   2arcsin12arcsin12 )(1arcsirsiri 2(4)本题也属于幂函数(非正整数次幂)×反三角函数类型的积分,直接将幂函数凑到微分号后面有一定困难,可以先 单独进行这部分的积分。 因为, 所以Cxdxxxd  arctn1)1()1(222 xddxxx arctnrt)1()arctnrt( arctn)(rt)(arctn22 22 .ltarct 22C(5)本题属于幂函数(正整数次幂)×指数函数类型的积分,要试图先将指数函数凑到微分号后面。)1(2121)(   dxexex。

22、dexdex对积分 ,令 ,则 , ,于是tx )lnt2t.2/)1arctn1(2arct()(2Cee Cdtdtxx .)1arctn4(edxxx (6)本题比较特殊,困难在于含有 对数函数, 这时可以先将 对数以外的东西凑到微分号内,微分号外只留对数函数,通过分部积分进行试解。.)1ln()l()1()1ln(llnl Ceexdee dxdx xxxxx xx  11.求下列不定积分(本例又是一种积分类型。在 这种积分中,其中有一部分是不能进行积分的(即原函数不能用初等函数表示),这一部分暂时不要管它,先对其它部分进行积分,在。

23、积分过程中会产生出不能 进行积分的部分的相反的 值,从而将那部分抵消掉)(1) ; (2) .dx2ln dxex22)tan1(解:(1)   xd22lnlllnl1.lnlnl22Cxxd(2) dxedxex)tan21()ta1( 222 .tantatantsc2 22Cxe xexeedx同步练习:1.求 ( )dx3 Cxx4352.求 . ( )2ln 2ln13.求 . ( )dx。

24、sico xsi4.求 . ( )C145.求 . ( )dx2arcsin x23)arcsin6.求 . ( )2)l(1 Cl17.求 . ( ))(24xd xxarctn318.求 . ( )18 C22rt41ln89.求 . ( )dx102)( xxx99897 )()()110.求 . ( )44cossin Car。

25、ctn21211.求 . ( ) x3 xlse12.求 . ( )dsi1 tac13.求 . ( )dx218 512arcsin9122xx14.求 . ( )x2 Cx15.求 . ( )d)(3 1ln(6l16.求 . ( 2 )xe1 Ceexxl117.求 . ( )dx2arcsinx 2arctnarcsin18.求 . 。

26、 ( )exi Cxexsi(o10219.求 ( dx2)1ln( 1ln())20.求 . ( )x2)1(l Cxx221l4)1ln21.求 . ( )dcosin tan22.若函数 有连续导数,且 ,求 .)(xf xf)1ln()( )(xf( )Cxarctn21ln23.若 ,求 . ( )Cxdxfarcsin)()(xfd32)(24.若 ,求 . ( xfsi)(i2 f1 Cxxarcsin12)25.已知函数 是连续函数 的一个原函数,当 时, ,)(F)(f 0x)(xFxf2si且 , ,求 . ( )100xxf 4inco1。

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