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多目标规划模型.ppt

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多目标规划方法,多目标规划解的讨论——非劣解 多目标规划及其求解技术简介 效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标规划模型 目标达到法 目标规划方法 目标规划模型 目标规划的图解法 求解目标规划的单纯形方法 多目标规划应用实例,多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。 在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域,衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断,而需要用多个目标来比较,而这些目标有时不甚协调,甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。 1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题,之后,J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨,但是尚未有一个完全令人满意的定义。,3,求解多目标规划的方法大体上有以下几种: 一种是化多为少的方法 , 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标,如主要目标法、线性加权法、理想点法等; 另一种叫分层序列法,即把目标按其重要性给出一个序列,每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解,直到求出共同的最优解。 对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解;还有一种称为层次分析法,是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的,这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法,对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。,多目标规划模型,(一)任何多目标规划问题,都由两个基本部分组成:(1)两个以上的目标函数;(2)若干个约束条件。,(二)对于多目标规划问题,可以将其数学模型一般地描写为如下形式:,一 多目标规划及其非劣解,式中: 为决策变量向量。,缩写形式:,有n个决策变量,k个目标函数, m个约束方程, 则:Z=F(X) 是k维函数向量,(X)是m维函数向量;G是m维常数向量;,(1),(2),对于线性多目标规划问题,可以进一步用矩阵表示:,式中: X 为n 维决策变量向量;C 为k×n 矩阵,即目标函数系数矩阵;B 为m×n 矩阵,即约束方程系数矩阵;b 为m 维的向量,即约束向量。,多目标规划的非劣解,多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化(最大或最小),而不顾其它目标。 对于上述多目标规划问题,求解就意味着需要做出如下的复合选择: ▲ 每一个目标函数取什么值,原问题可以得到最满意的解决? ▲ 每一个决策变量取什么值,原问题可以得到最满意的解决 ?,在图1中,max(f1, f2) .就方案①和②来说,①的 f2 目标值比②大,但其目标值 f1 比②小,因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间,显然:④比①好,⑤比④好, ⑥比②好, ⑦比③好……。,非劣解可以用图1说明。,图1 多目标规划的劣解与非劣解,9,而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣,而且又没有比它们更好的其他方案,所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解, 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。,当目标函数处于冲突状态时,就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解,于是我们只能寻求非劣解。,效用最优化模型罚款模型约束模型目标规划模型,二 多目标规划求解技术简介,为了求得多目标规划问题的非劣解,常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化,有如下几种建模方法。,是与各目标函数相关的效用函数的和函数。,方法一 效用最优化模型(线性加权法),(1),(2),思想:规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系,各目标之间通过效用函数协调,使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题:,在用效用函数作为规划目标时,需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重,即:,式中, i 应满足:,向量形式:,方法二 罚款模型(理想点法),思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值(或称满意值); 通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的解,其数学表达式如下:,或写成矩阵形式:,式中, 是与第i个目标函数相关的权重;A是由 (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。,理论依据 :若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围,则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组,进入约束条件组中。 假如,除第一个目标外,其余目标都可以提出一个可供选择的范围,则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题:,方法三 约束模型(极大极小法),15,方法四 目标规划模型(目标规划法),目标规划与线性规划相比
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