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acm背包问题九讲.doc

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背包问题九讲目录第一讲 01背包问题第二讲 完全背包问题第三讲 多重背包问题第四讲 混合三种背包问题第五讲 二维费用的背包问题第六讲 分组的背包问题第七讲 有依赖的背包问题第八讲 泛化物品第九讲 背包问题问法的变化附录一:USACO 中的背包问题附录二:背包问题的搜索解法P01: 01背包问题题目有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i],价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。用子问题定义状态:即 f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题,若只考虑第 i 件物品的策略(放或不放) ,那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1件物品的问题。如果不放第i 件物品,那么问题就转化为 “前 i-1件物品放入容量为 v 的背包中”,价值为 f[i-1][v];如果放第 i 件物品,那么问题就转化为 “前 i-1件物品放入剩下的容量为 v-c[i]的背包中” ,此时能获得的最大价值就是 f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i]。优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到 O。先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环 i=1N,每次算出来二维数组 f[i][0V]的所有值。那么,如果只用一个数组 f[0V],能不能保证第 i 次循环结束后 f[v]中表示的就是我们定义的状态 f[i][v]呢?f[i][v] 是由 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推 f[i][v]时(也即在第 i 次主循环中推 f[v]时)能够得到 f[i-1][v]和 f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以 v=V0的顺序推 f[v],这样才能保证推 f[v]时 f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:for i=1Nfor v=V0f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};其中的 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的 f[v-c[i]]就相当于原来的 f[i-1][v-c[i]]。如果将 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了 f[i][v]由 f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题 P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。过程 ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数 cost、weight 分别表明这件物品的费用和价值。procedure ZeroOnePack(cost,weight)for v=Vcostf[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成 v=V0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为 cost 的物品不会影响状态 f[0cost-1],这是显然的。有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:for i=1NZeroOnePack(c[i],w[i]);初始化的细节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了 f[0]为0其它 f[1V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的 f[N]是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将 f[0V]全部设为0。为什么呢?可以这样理解:初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的no
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