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弦切角定理目录弦切角定义 弦切角定理 弦切角推论 弦切角定义 弦切角定理 弦切角推论 展开编 辑 本 段 弦 切 角 定 义顶 点 在 圆 上 , 一 边 和 圆 相 交 , 另 图 示一 边 和 圆 相 切 的 角 叫 做 弦 切 角 。 (弦 切 角 就 是 切 线 与 弦 所 夹 的 角 ) 如 右 图 所 示 , 直 线 PT 切 圆 O 于 点 C, BC、 AC 为 圆 O 的 弦 ,∠ TCB, ∠ TCA, ∠ PCA, ∠ PCB 都 为 弦 切 角 。 编 辑 本 段 弦 切 角 定 理弦 切 角 定 理 : 弦 切 角 的 度 数 等 于 它 所 夹 的 弧 的 圆 心 角 的 度 数 的 一 半 . 弦 切 角 定 理 证 明 : 证 明 一 : 设 圆 心 为 O, 连 接 OC, OB,。 ∵ ∠ TCB=90-∠ OCB ∵ ∠ BOC=180-2∠ OCB ∴ ,∠ BOC=2∠ TCB( 定 理 : 弦 切 角 的 度 数 等 于 它 所 夹 的 弧 所 对 的 圆 心 角的 度 数 的 一 半 ) ∵ ∠ BOC=2∠ CAB( 圆 心 角 等 于 圆 周 角 的 两 倍 ) ∴ ∠ TCB=∠ CAB( 定 理 : 弦 切 角 的 度 数 等 于 它 所 夹 的 弧 的 圆 周 角 ) 证 明 已 知 : AC 是 ⊙ O 的 弦 , AB 是 ⊙ O 的 切 线 , A 为 切 点 , 弧 是 弦 切 角∠ BAC 所 夹 的 弧 . 求 证 : ( 弦 切 角 定 理 ) 证 明 : 分 三 种 情 况 : ( 1) 圆 心 O 在 ∠ BAC 的 一 边 AC 上 ∵ AC 为 直 径 , AB 切 ⊙ O 于 A, ∴ 弧 CmA=弧 CA ∵ 为 半 圆 , ∴ ∠ CAB=90=弦 CA 所 对 的 圆 周 角 B 点 应 在 A 点 左 侧( 2) 圆 心 O 在 ∠ BAC 的 内 部 . 过 A 作 直 径 AD 交 ⊙ O 于 D, 若 在 优 弧 m 所 对 的 劣 弧 上 有 一 点 E 那 么 , 连 接 EC、 ED、 EA 则 有 : ∠ CED=∠ CAD、 ∠ DEA=∠ DAB ∴ ∠ CEA=∠ CAB ∴ ( 弦 切 角 定 理 ) ( 3) 圆 心 O 在 ∠ BAC 的 外 部 , 过 A 作 直 径 AD 交 ⊙ O 于 D 那 么 ∠ CDA+∠ CAD=∠ CAB+∠ CAD=90 ∴ ∠ CDA=∠ CAB ∴ ( 弦 切 角 定 理 ) 编 辑 本 段 弦 切 角 推 论推 论 内 容若 两 弦 切 角 所 夹 的 弧 相 等 , 则 这 两 个 弦 切 角 也 相 等 应 用 举 例例 1: 如 图 , 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C=90, 以 AB 为 弦 的 ⊙ O 与 AC 相 切 于 点A, ∠ CBA=60° , AB=a 求 BC 长 . 解 : 连 结 OA, OB. ∵ 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C=90 ∴ ∠ BAC=30° ∴ BC=1/2a(RT△ 中 30°角 所 对 边 等 于 斜 边 的 一 半 ) 例 2: 如 图 , AD 是 Δ ABC 中 ∠ BAC 的 平 分 线 , 经 过 点 A 的 ⊙ O 与 BC 切于 点 D, 与 AB, AC 分 别 相 交 于 E, F. 求 证 : EF∥ BC. 证 明 : 连 DF. AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ∠ BAD=∠ DAC ∠ EFD=∠ BAD ∠ EFD=∠ DAC ⊙ O 切 BC 于 D ∠ FDC=∠ DAC ∠ EFD=∠ FDC EF∥ BC 例 3: 如 图 , Δ ABC 内 接 于 ⊙ O, AB 是 ⊙ O 直 径 , CD⊥ AB 于 D, MN 切⊙ O 于 C, 求 证 : AC 平 分 ∠ MCD, BC 平 分 ∠ NCD. 证 明 : ∵ AB 是 ⊙ O 直 径 ∴ ∠ ACB=90 ∵ CD⊥ AB ∴ ∠ ACD=∠ B, ∵ MN 切 ⊙ O 于 C ∴ ∠ MCA=∠ B, ∴ ∠ MCA=∠ ACD, 即 AC 平 分 ∠ MCD, 同 理 : BC 平 分 ∠ NCD.
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