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微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第二章课后题答案.doc

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微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第二章课后题答案.doc
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微分几何主要习题解答11第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面 ={ u ,u , bv }的坐标曲线.rvcosin解 u-曲线为 ={u ,u ,bv }={0,0,bv }+u { , ,0},为曲线的直母线;00sv00cosvinv-曲线为 ={ , ,bv }为圆柱螺线.r0vcsi2.证明双曲抛物面 ={a(u+v), b(u-v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。r证 u-曲线为 ={ a(u+ ), b(u- ),2u }={ a , b ,0}+ u{a,b,2 }表示过点{ a , 0v0v00v0v0vb ,0}以{a,b,2 }为方向向量的直线;0v0vv-曲线为 ={a( +v), b( -v),2 v}={a , b ,0}+v{a,-b,2 }表示过点(a , br0u0u00u0u0u,0)以{a,-b,2 }为方向向量的直线。0u3.求球面 = 上任意点的切平面和法线方程。r }sin,icos,incs{aa解 = , =oir }0,cos,sinco{a任意点的切平面方程为 0cossincoinaazyx即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ;法线方程为 。sinsiccszyx 4.求椭圆柱面 在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 21ab。解 椭圆柱面 的参数方程为 x = cos , y = asin , z = t , , 21xyab }0cos,in{bar。所以切平面方程为:}1,0{tr微分几何主要习题解答12,即 x bcos + y asin - a b = 0010cossinibatzyx 此方程与 t无关,对于 的每一确定的值,确定唯一一个切平面,而 的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 。5.证明曲面 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 },{3uvar证 , 。切平面方程为: 。,0123ru,1023rv3zauvyx与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, )。于是,四面体的体积为:uva23是常数。329||361auvV§2 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面 ={a(u+v), b(u-v),2uv}的第一基本形式. r解 ,4},2{}2,{ 22vbarEuvbr uu ,,4rGFvv  ∴ I = 2 。22)(da 222 )()4( dvudvba2.求正螺面 ={ u ,u , bv }的第一基本形式,并证明坐标曲线互相垂直。rvcosin解 , , , ,∴ I ,cos{},0in,{svuu  12urE0vurF22burGv= ,∵F=0,∴坐标曲线互相垂直。22)(dvbd3.在第一基本形式为 I = 的曲面上,求方程为 u = v的曲线的弧长。22sinhudvd解 由条件 ,沿曲线 u = v有 du=dv ,将其代入 得 =2dssiu 2ds22sinhudv,ds = coshvdv , 在曲线 u = v上,从 到 的弧长为 。2coshv 12 |inh|co| 121 vv4.设曲面的第一基本形式为 I = ,求它上面两条曲线 u + v = 0 ,u–v = 0的交2)(dvad微分几何主要习题解答13角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 , , ,曲线 u + v = 0与 u 1E0vF2auG– v = 0的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 , , 。曲线 u + v = 0的方向为 du = -dv , u – v = 0的方向为 δu=δv , 设两曲线的夹角为 ,则有cos = 。2222 1avGuEd5.求曲面 z = axy上坐标曲线 x = x ,y = 的交角.00y解 曲面的向量表示为 ={x,y,axy}, 坐标曲线 x = x 的向量表示为 ={ x ,y,ax y } ,其切向量r 0r0={0,1,ax };坐标曲线 y = 的向量表示为 ={x , ,ax },其切向量 ={1,0,a },设两曲yr00ryx0线 x = x 与 y = 的夹角为 ,则有 cos =  20201|| yaxyx 6. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程.解 对于 u-曲线 d
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