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第四章_级数(习题四)解答.doc

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第四章 级数(习题四)解答1.设已给复数序列{ } ,如果 ,其中 是一有限复数,那么nzlimnz.12nnz(复数列极限的算术平均法则)证明 (方法1)记 , ,则nnzxiyaib.121212nnxyyi  由复数列收敛与实数列收敛的关系以及实数列极限的算术平均法则得, , ,limnxalinyb12limnna 12limnnb于是再由复数列收敛与实数列收敛的关系得.12linnzzib(方法2)由 得,对任意 ,存在正整数 ,当 时, .linz01N1nnz于是,当 时,1N1111121221212 112()()()()()()()()n nNNnNNzzzzzzznn  又 ,所以存在正整数 ,当 时12()lim0nzzn 2N2n112()zn从而取 ,当 时,12ax{,}NN.122nzz即 .12limnnzz注意:此题中,当 时, 结论不一定成立.例如,取21nkinkz显然 ,从而 ,但2nzklimn当 时,( ),1220kzz n当 时,21nk( ),221102kz iik所以 12limnnzz不存在.这表明关于复数列的算 术平均法则对无穷大量的情形不一定成立,这一点与实数列的算术平均法则有所不同.2.证明:任何有界的复数序列一定有一个收敛的子列. (复数域上的致密性定理)证明 记有界的复数序列为{ } , ,由 , 知,实数列nznxiynxznyz{ }和{ }也有界.由实数域上的致密性定理得{ }有收敛的子列{ } ,同理nxny knx{ }的子列{ }也有收敛的子列,我们把它仍记为{ } ,于是由复数列收敛与实数k kny列收敛的关系得{ }的子列 也收敛.nz{}}kkknnzxiy3.证明在两相乘级数中,一个收敛,一个绝对收敛时,它们的柯西乘积一定收敛,且和为这两个级数的和的乘积.证明 记级数 收敛,级数 绝对收敛,其和分别为 , .1nz1nz 12(方法1)记 , ,由复级数收敛与实级数收敛的关系得nnxiynxiy和 都收敛, 和 都绝对收敛.1n1n1n1ny又 1211211 1[( )( )]n nnnnnzzzxxxyyyiyxx       由数学分析中柯西乘积的收敛性得1211( )()n nnxxxx  1211( )()nnnnyyyy 1211( )()nnnnxxx  1211( )()nnnnyyy 都收敛.所以再由复级数收敛与实级数收敛的关系得 收敛,121( )n nzzz且 121( )n nzzz121121[( )( )]n nnnnxxxyyy   1211211111[( )( )])()][)((nnnnnnnnnniyxxxyiyyiyx    21)ni(方法2)由级数 收敛,级数 绝对收敛知,存在正数 ,使得对任何正整1nz1nz 0M数 ,有k, ①12kzzM 12kzz又由柯西准则,对任意 ,存在正整数 ,当 时,对任意自然数 ,有0Np, ②12kkpzz 12kkpzz再注意到,记 为 的部分和,mS121( )n n当 为奇数时,[2][]1[2][2]1[][]121[2][]1[2]122[]1()()()(mnmmmmSzzzzzzz    1)当 为偶数时,m[2][]1[2][2]1[][]121[2][][]212[2][][]()()()(mnmmmmSzzzzzzz   112))m于是当 充分大时(如 时) ,有 ,由①②易得m2N[]N.[2][]1()mnSzM所以.[2][]121 121( )lilim()mn nnzzzSz   注意:课
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