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正十七边形尺规作图.doc

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步 骤 一 : 给 一 圆 O, 作 两 垂 直 的 半 径 OA、 OB, 作 C 点 使 OC= 1/4OB, 作 D 点 使 ∠ OCD= 1/4∠ OCA, 作 AO 延 长 线 上 E 点 使 得 ∠ DCE= 45 度 。 步 骤 二 : 作 AE 中 点 M, 并 以 M 为 圆 心 作 一 圆 过 A 点 , 此 圆 交 OB 于 F 点 ,再 以 D 为 圆 心 , 作 一 圆 过 F 点 , 此 圆 交 直 线 OA 于 G4 和 G6 两 点 。 步 骤 三 : 过 G4 作 OA 垂 直 线 交 圆 O 于 P4, 过 G6 作 OA 垂 直 线 交 圆 O 于 P6, 则 以 圆 O 为 基 准 圆 , A 为 正 十 七 边 形 之 第 一 顶 点 P4 为 第 四 顶 点 , P6 为 第 六 顶 点 。 连 接 P4P6, 以 1/2 弧 P4P6 为 半 径 , 在 圆 上 不 断 截 取 , 即 可 在 此 圆 上 截 出 正 十 七 边 形 的 所 有 顶 点 。 历 史最 早 的 十 七 边 形 画 法 创 造 人 为 高 斯 。 高 斯 (1777~1855 年 ), 德 国 数 学 家 、 物 理 学 家 和 天 文 学 家 。 在童 年 时 代 就 表 现 出 非 凡 的 数 学 天 才 。 三 岁 学 会 算 术 , 八 岁 因 发 现 等 差 数 列 求 和 公 式 而 深 得 老 师 和 同 学 的 钦佩 。 1799 年 以 代 数 基 本 定 理 的 四 个 漂 亮 证 明 获 得 博 士 学 位 。 高 斯 的 数 学 成 就 遍 及 各 个 领 域 , 其 中 许 多 都有 着 划 时 代 的 意 义 。 同 时 , 高 斯 在 天 文 学 、 大 地 测 量 学 和 磁 学 的 研 究 中 也 都 有 杰 出 的 贡 献 。1801 年 , 高 斯 证 明 : 如 果 k 是 质 数 的 费 马 数 , 那 么 就 可 以 用 直 尺 和 圆 规 将 圆 周 k 等 分 。 高 斯 本 人 就是 根 据 这 个 定 理 作 出 了 正 十 七 边 形 , 解 决 了 两 千 年 来 悬 而 未 决 的 难 题 。道 理当 时 , 如 果 高 斯 的 老 师 告 诉 了 高 斯 这 是 道 2000 多 年 没 人 解 答 出 来 的 题 目 , 高 斯 就 不 会 画 出 这 个 正 十七 边 形 。 这 说 明 了 你 不 怕 困 难 , 困 难 就 会 被 攻 克 , 当 你 惧 怕 困 难 , 你 就 不 会 胜 利 。 正 十 七 边 形 的 证 明 方 法正 十 七 边 形 的 尺 规 作 图 存 在 之 证 明 : 设 正 17 边 形 中 心 角 为 a,则 17a=360 度 ,即 16a=360 度 -a 故 sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因 sina 不 等 于 0,两 边 除 之 有 : 16cosacos2acos4acos8a=-1 又 由 2cosacos2a=cosa+cos3a 等 ,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注 意 到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有 : x+y=-1/2 又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经 计 算 知 xy=-1 又 有 x=(-1+根 号 17)/4,y=(-1-根 号 17)/4 其 次 再 设 :x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故 有 x1+x2=(-1+根 号 17)/4 y1+y2=(-1-根 号 17)/4 最 后 ,由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可 求 cosa 之 表 达 式 ,它 是 数 的 加 减 乘 除 平 方 根 的 组 合 , 故 正 17 边 形 可 用 尺 规 作 出
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