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5插值(下).ppt

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第五章,插值法 (下),§3 Hermite插值,不少实际问题不但要求插值 函数在节点上与原来的函数相等 (满足插值条件),而且还要求 在节点上的各阶导数值也相等, 满足这种要求的插值多项式,称 为Hermite插值多项式记为H(x), 本节主要讨论已知节点的函数值 和一阶导数的情形。,3.1 Hermite插值,设已知函数y = f (x)在n +1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值yi = f (xi) (i=0,1,2,…n)和导数值yi = f (xi)(i=0,1,2,…n),要求一个不超过2n+1次 的多项式H(x),使其满足:,这样的H(x)称为 Hermite插值多项式。,,引例(续1),引例(续2),引例的误差估计:,注意到x1是H(x)的二阶零点, x0,x2为其一阶零点, 所以:,为确定(x),作辅助函数:,∵当t = x时,可选择(x),使(x)=0∴t = x, x0,x2为(t)的一阶零点,t = x1为二重零点。因此(t)共五重零点,反复使用罗尔中值定理(对重零点也适合)可得到:存在x,使(4)(x)=0,即 :,由于H(t)是t 的三次多项式, ∴H (4)(x)=0,推广至n+1个点,推广至n+1个点的 yi , yi时,利用构造插值基函数的方法, 照上述引例,可设:,其中hi(x)和Hi(x) (i=0,1,2,…,n) 满足: (1)hi(x), Hi(x)(i=0,1,2,…,n)都是不超过2n+1次的多项式 ;,下面分别确定hi(x)和Hi(x):,下面分别确定hi(x)和Hi(x):,对hi(x):x = xj(ji) 为其二重零点,故应含有因式(xxj)2 ( ji),因此可以设为,请注意:直观上应设hi(x)为:,这样来确定a,b较麻烦,上述引入li(x)后,较简单。 ∵hi(x)还应满足:,对Hi(x):,对Hi(x) :由于 x = xj(ji)为其二 重零点,xi为一重 零点,故可设 :,这样,代回去得:,特别地,当n =1时,有:,两个节点的三次Hermite插值多项式,因此n =1的三次Hermite插值多项式可用标准化 的基函数表示为:,更便于上机使用,上式中h = x1-x0。,,,通常称之为 “标准化”的基函数,而上述三次Hermite插值基函数可由其表示出:,3.2 误差估计,和引例类似,可导出Hermite插值的误差估计。,定理5.2,设x0,x1,…,xn为区间[a, b]上的互异节点,H(x)为f (x)的过这组节点的2n+1次Hermite插值多项式。若f (x)在[a,b]上2n+2连续可导,则对x[a, b]插值余项为:,特别地,n =1的三次Hermite插值余项为:,注意与引例的误差估计式,与Lagrange插值的误差估计式相比较。,定理5.3,设x0,x1,…,xn为区间[a, b]上互异节点,f (x) C(1)[a, b],则上述Hermite插值多项式是唯一的。,定理5.3,∵ H(x)为不超过2n+1次多项式, ∴ H(2n+2)(x)0 于是H(x) H(x) 0这表明Hermite插值多项式是唯一的。,推论,推论1:不超过2n+1次的多项式在任意n +1个互异节点上 的Hermite插值多项式就是其自身。,对于推论2,事实上,可令f(x)=1,f  (xi)=0, (i=0,1,…,n),显然,,满足这组插值条件,即得结论。,Hermite插值举例,例6,按下表求Hermite插值:,Hermite插值举例(续),例7,设:已知函数f (x)的如下值:f(-1)=-2,f(0)=-1,f(1)=0,f  (0)=0,求不超过3次的Hermite插值多项式H (x),3.3 Hermite插值的一般形式,求一个不超过n+m+1次的多项式H (x)使得:,与前面的讨论类似,可以证明这样的Hermite插值多项式 是唯一存在的,其余项为:,这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全 部给出,与前面引例相似,举例说明方法。,Hermite插值一般形式(举例),例8,按下表求Hermite插值多项式:,解法一:这里有5个条件,所以插值多项式不超过4次,用 构造插值基函数hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法,它们分 别应满足:,例8(解法2),解法2: ∵x = 0为二阶零点,故可设插值多项式为,代入条件:,所求四次Hermite插值多项式为:,解法3:还可直接设五次方程求解,§4 多项式插值的缺陷与分段插值,4.1 多项式插值的缺陷,在插值方法中,为了提高插值多项式的逼近程度, 常常需要增加节点个数,即提高多项式的次数,当插 值节点增多,插值多项式的次数逐步提高
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