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5概率建模.ppt

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概率建模,几何概率建模,1、甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面,先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去,求两人能会面的可能性。,几何概率建模,2、甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车,它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00,如果他们约定(1)见车就乘(2)最多等一辆车。求两人同乘一部车的可能性。,几何概率建模,3、贝特郎(Bertrand)奇论 在半径为1的圆内随机地取一条弦,问其长度超过该圆内接等边三角形(正三角形)的边长的概率。,贝特郎(Bertrand)奇论,(1)任何弦交圆周于两点,不失一般性,先固定其中一点于圆周上,以此点为顶点作一等边三角形,显然,只有落入此三角形内的弦才满足要求,这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3,因此概率为1/3。 假定了端点在圆周上均匀分布。,贝特郎(Bertrand)奇论,(2)弦长只跟它与圆心的距离有关,而与方向无关,因此可以假定它垂直于某一直径。当且仅当它与圆心的距离小于1/2时,其长才大于 ,因此概率为1/2。 假定了弦的中点在直径上均匀分布。,贝特郎(Bertrand)奇论,(3)弦长被其中点唯一确定,当且仅当其中点属于半径为1/2的同心圆内时,弦长大于 ,因此概率为1/4. 假定了弦的中点在圆心均匀分布。,,全概率公式和Bayes公式,1.抽签的公平性论证 田径比赛中跑道抽签:有8条跑道,其中第3条跑道最好,有8个人参加比赛抽签决定在那个跑道。不管先抽后抽,抽到第3条跑道的机会是一样的。 抽奖:5张彩票,其中2个有奖,不管先抽后抽,抽到有奖彩票的可能性一样。,全概率公式和Bayes公式,1.抽签的公平性论证(续)袋子中有a个黑球和b个白球,从中一个一个将球取出来,则第k次(1≤ k ≤ a+b)取出的球为黑球的概率为a/(a+b).,全概率公式和Bayes公式,2.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果;若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示“被诊断都者患有癌症”,则有 P(A|C)=0.95, 通过对自然人群进行普查,被试验的人患有癌症的概率P(C)=0.005,求P(C|A),即被此检验法诊断为患有癌症而真正患有癌症的概率,,事件独立性——可靠性理论中的应用,对于一个元件,它能正常工作的概率p称为它的可靠性。元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。随着近代电子技术的迅猛发展,关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论。,小概率事件,某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率。,最优配备——Poisson逼近,1.为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人,现有同类型设备300台,每台发生故障的概率都是0.01,问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01。,最优配备——Poisson逼近,2.设有80台同类型设备,每台发生故障的概率都是0.01,下面考虑两种配备工人方法(1)4人维护,每人20台,互相不协助(2)3人共同维护80台。试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率,正态分布,从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走,第一条路穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间服从N(50,100);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从N(60,16),问(1)有70分钟可用,选那条路?(2)有65分钟可用,选那条路?,数学期望,一种验血新技术:在一个人数很多的单位中普查某种疾病,N个人去验血,对这些人的血的化验可以用两种方法进行(1)每个人的血分别化验,(2)把K个人的血混合在一起进行化验,如果结果是阴性,停止,如果是阳性,必须对这K个人在逐个分别化验。假定化验反应为阳性的概率都是p且相互独立。说明p适当小时,方案2能减少化验次数。,中心极限定理,某车间有200台车床,由于经常需要检修、测量、调换刀具、变换位置等种种原因,因此,即使在生产期间,各台车床还是时常需要停车的。若每台车床有60%的时间在开动,而每台车床开动时需要耗电1千瓦。问应该供给这个车间多少电力才能保证此车间正常生产?,
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