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matlab在科学计算中的应用04_21.ppt

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matlab在科学计算中的应用04_21.ppt
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4.2.3 线性方程组的直接求解-分析方法,矩阵的三角分解: -LU分,格式,L是一个单位下三角矩阵,u是一个上三角矩阵, [l,u]=lu(A) % l=P-1 L l =0.2500 0.5000 1.00000.5000 1.0000 01.0000 0 0 u =4.0000 6.0000 7.00000 1.0000 -2.50000 0 2.5000,例:用两种方法对A进行LU分解, A=[1 2 3; 2 4 1; 4 6 7];, [l,u,p]=lu(A) l =1.0000 0 00.5000 1.0000 00.2500 0.5000 1.0000 u =4.0000 6.0000 7.00000 1.0000 -2.50000 0 2.5000 p =0 0 10 1 01 0 0,-QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。,格式:[Q,R] = qr(A),求得正交矩阵Q和上三角阵R,Q和R满足A=QR。,例: A =[ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; [Q,R] = qr(A) Q =-0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478-0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704-0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975-0.7762 0.3124 0.3994 0.3748 R =-12.8841 -14.5916 -16.29920 -1.0413 -2.08260 0 -0.00000 0 0,Cholesky(乔里斯基 )分解,格式:D=chol(A),例:进行Cholesky分解。 A=[16 4 8; 4 5 -4; 8 -4 22]; D=chol(A) D =4 1 20 2 -30 0 3,(1)LU分解:A*X=b 变成 L*U*X=b 所以 X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。例:求方程组 的一个特解。解: A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 -1]; B=[2 10 8]'; D=det(A) D =10,●利用矩阵的LU、QR和cholesy分解求方程组的解,[L,U]=lu(A) L =0.3636 -0.5000 1.00000.2727 1.0000 01.0000 0 0 U =11.0000 3.0000 -1.00000 -1.8182 2.27270 0 0.5000, X=U\(L\B) X =0.40003.20006.0000 A*X ans =2.000010.00008.0000,(2)Cholesky分解若A为对称正定矩阵,则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积, 方程 A*X=b 变成 R’*R*X=b 所以 X=R\(R’\b) (3)QR分解对于任何长方矩阵A,都可以进行QR分解,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵的初等变换形式,即:A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\(Q\b)这三种分解,在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。,三个变换在线性方程组的迭代求解中,要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。 上三角变换:格式 triu(A,1) 对角变换:格式 diag(A) 下三角变换:格式 tril(A,-1)例:对此矩阵做三种变换。, A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; % triu(A,1) ans =0 2 -20 0 10 0 0 tril(A,-1) ans =0 0 01 0 02 2 0 b=diag(A); b' ans =1 1 1,4.3 线性方程组的迭代解法,迭代法的一般形式线性方程组:,4.3.1 Jacobi迭代法,方程组 Ax=b 可写成 x=Bx+f由此可构造迭代法:x(k+1)=Bx(k)+f其中:B=I-D-1A=D-1(L+U) , f=D-1b. D=diag(A), L,U分别为-A的严格下三角和严格上三角矩阵,function y=jacobi(a,b,x0) D=diag(diag(a)
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