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matlab在科学计算中的应用05_11.ppt

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第五章 微分方程问题的解法,常系数线性微分方程的解析解方法 常微分方程问题的数值解法 微分方程问题算法概述 四阶定步长 Runge-Kutta算法及 MATLAB 实现 一阶微分方程组的数值解 微分方程转换 特殊微分方程的数值解 边值问题的计算机求解 偏微分方程的解,5.1 常系数线性微分方程的解析解方法,数学描述:,特征方程(多项式代数方程):,-该代数方程的根称为原常系数方程的特征根 -根据特征根的情况可求得原方程的解析解,格式:y=dsolve(f1, f2, …, fm)格式:指明自变量y=dsolve(f1, f2, …, fm ,’x’)fi 即可以描述微分方程,又可描述初始条件或边界条件。如:描述微分方程时描述条件时,例:, syms t; u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5; uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u uu = 87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10, syms t y; y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',.'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10']), y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',.'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1) +10'], 'y(0)=3', 'Dy(0)=2', 'D2y(0)=0', 'D3y(0)=0'),分别处理系数,如: [n,d]=rat(double(vpa(-445/26*cos(1)-51/13*sin(1)-69/2))) ans =-8704 185 % rat()最接近有理数的分数,判断误差: vpa(-445/26*cos(sym(1))-51/13*sin(1)-69/2+8704/185) ans = .114731975864790922564144636e-4, y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',.'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1) + . 10'],'y(0)=1/2','Dy(pi)=1','D2y(2*pi)=0','Dy(2*pi)=1/5')如果用推导的方法求Ci的值,每个系数的解析解至少要写出10数行,故可采用有理式近似 的方式表示. vpa(y,10) %有理近似值 ans = 1.196361839*exp(-5.*t)+.4166666667-.4785447354*sin(t)*cos(t)*exp(-5.*t)-.4519262218e-1*cos(2.*t)*exp(-5.*t)-2.392723677*cos(t)^2*exp(-5.*t)+.2259631109*sin(2.*t)*exp(-5.*t)-473690.0893*exp(-3.*t)+31319.63786*exp(-2.*t)-219.1293619*exp(-1.*t)+442590.9059*exp(-4.*t),例:求解, [x,y]=dsolve('D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t)', … 'Dy=4*x+3*y+4*exp(-t)'),例: syms t x x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)') x = [ 1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)] [ -1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)], syms t x; x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1') Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. In D:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292 x = t-Int(1/(a-a^3+1),a=``x)+C1=0 故只有部分非线性微分方程可直接求出其解析解。,5.2 微分方程问题的数值解法,5.2.1 算法概述,微分方程求解的误差与步长问题:,,,function [outx,outy]=MyEuler(fun,x0,xt,y0,PointNum)% fun 表示f(x,y); x0,xt:自变量的初值和终值; %y0:函数在x0处的值,其可以为向量形式; %PointNum表示自变量在[x0,xt]上取的点数if nargin==4 | PointNum=0 %PointN
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