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matlab在科学计算中的应用06_1.ppt

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第六章 多项式、插值与数据拟合,实验数据的研究:数据差值和函数逼近 数据差值:在样本点的基础上求出不在 样本点上的其他点处的函数值 函数逼近:由已知的样本点数据求取能对其有较好拟合效果的函数表达式多项式,主要内容:多项式MATLAB命令 插值 Lagrange插值 Hermite插值 Runge现象和分段插值 分段插值 样条插值的MATLAB表示 数据拟合 多项式拟合 函数线性组合的曲线拟合方法 最小二乘曲线拟合,6.1 关于多项式MATLAB命令,一个多项式的幂级数形式可表示为:,也可表为嵌套形式,或因子形式,N阶多项式n个根,其中包含重根和复根。 若多项式所有系数均为实数, 则全部复根都将以共轭对的形式出现,Matlab实现:在MATLAB里,多项式用行向量表示,其元素为多项式的系数,并从左至右按降幂排列( 幂系数 ),其matlab表示为 p=[2 1 4 5]转换为符号表达式: poly2sym(p),例:,-roots: 求解多项式的零点例: r=roots(p) 得到r =0.2500 + 1.5612i0.2500 - 1.5612i-1.0000 所有零点由一个列向量给出。,与多项式相关的Matlab函数:,-poly: 由零点可得原始多项式的各系数(但可能相差一个常数倍)例: poly(r),ans =1.0000 0.5000 2.0000 2.5000,注意:若存在重根,这种转换可能会降低精度。,例:, r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1]) r =1.0042 + 0.0025i1.0042 - 0.0025i1.0000 + 0.0049i1.0000 - 0.0049i0.9958 + 0.0024i0.9958 - 0.0024i,舍入误差的影响,与计算精度有关。,-polyval: 计算多项式的值。,例: c=[3,-7,2,1,1]; xi=[2.5,3]; yi=polyval(c,xi)yi =23.8125 76.0000,求解: c=[3,-7,2,1,1]; xi=2.5; yi=polyval(c,xi)yi =23.8125,注:如果xi是含有多个横坐标值的数组,则yi也为与xi长度相同的向量。,-polyfit: p=polyfit(x,y,n) 求得满足p(x)=y的n阶多项式其中x,y为n+1向量,例:, x=[1.1,2.3,3.9,5.1]; y=[3.887,4.276,4.651,2.117]; a=polyfit(x,y,length(x)-1) a =-0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 poly2sym(a)ans =-403/2000*x^3+2877/2000*x^2-27477/10000*x+5437/1000,-Polyder: 求多项式一阶导数的系数。调用格式为: b=polyder(c )c为多项式y的系数,b是微分后的系数,,b的值为:,例如对多项式:,-conv(a,b): c=conv(a,b),计算多项式的乘积,其中a,b分别为多项式的系数向量,-deconv(a,b): [q,r]=deconv(a,b),计算多项式的除法运算,其中a,b分别为多项式的系数向量,例 a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18]; c=conv(a,b) c =6 -195 432 -453 9 -792 -162 [q,r]=deconv(c,b) q =2 -5 6 -1 9 r =0 0 0 0 0 0 0 poly2sym(c)ans =6*x^6-195*x^5+432*x^4-453*x^3+9*x^2-792*x-162,6.2 插值 6.2.1 Lagrange插值,方法介绍,其对应的函数值为:,则插值区间内任意x的函数值y为:,给定的n个插值点:,-n次Lagrange差值多项式,function y=lagrange(x0,y0,x) ii=1:length(x0); y=zeros(size(x)); for i=iiij=find(ii~=i);y1=1;for j=1:length(ij)y1=y1.*(x-x0(ij(j)));%, x-x_j ,ji的乘积endy=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij)); end,Matlab实现(n-1次差值):,,算例:给出f(x)=ln(x)的数值表,用Lagrange计算ln(0.54)的近似值。 x=[0.4:0.1:0.8];% 取样本点 y=log(x) ans =0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.3
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