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线性规划应用.doc

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线性规划知识的应用1 进行水资源系统分析(水资源优化配置) ,应用线性规划知识此问题主要出现在水利工程专业的《水资源管理》课程中,主要应用于基于可持续发展的水资源优化配置的研究与应用。目前,我国水利正在由工程水利向资源水利,传统水利向现代水利、可持续发展水利转变,资源水利、可持续发展水利的主要内容是水资源的开发、利用、配置、节约和保护。水资源的优化配置是可持续发展水利的一项重要内容。水资源系统分析最常用的方法是数学法,主要有线性规划法和非线性规划法。水资源系统分析主要包括系统的模型化和最优化两大部分,其中的数学模型包括决策变量、约束条件和目标函数优化三大要素。数学模型的建立包括的内容有:(1)对系统的性能、目标、环境等因素进行调整,并给出定量描述;(2)确定系统结构和界限,并进行数学描述;(3)建立决策变量和常量;(4)建立约束条件的数学表达式;(5)建立目标函数。(1) 线性规划法在各项经济活动中(如资源配置、生产组织、经营管理、投资利润等) ,一方面投入资源(如人力、物力、财力等) ,另一方面获得效果(如产值、利润等)。人们必须合理组织、统筹安排、优化资源配置,以求最佳综合效益(如经济效益、社会效益、生态效益等) 。简言之,在满足一组约束条件下,追求最优目标(即使目标函数达到最大(小) ) ,这就是线性规划问题。水资源线性规划问题主要包括水资源利用问题、水量分配问题、水质管理问题、农作物种植计划问题、投资利润问题等。一般情况下,线性规划问题可以用数学语言描述:在满足约束条件X1+ X2+… Xn≤b 1(=或 ≥b 1 )ana1X1+ X2+…+ Xn≤b 2(=或≥b 2)2… … … …X1+ X2+…+ Xn≤bm(=或 ≥bm)nanaXj≥0,j=1,2,…n下,使目标函数取最大值﹙或最小值﹚ 即:Zmax=C1X1+C2X2+C3X3+…+CnXn式中 m—独立方程的个数,称线性规划的阶数;n—决策变量数目,称线性规划的维数;—(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 称线性规划的结构数;ijabi≥0(i=1,2,…,m)常数﹙否则等式两端同乘–1﹚;cj—﹙j=1,2,…,n﹚称价值系数.以上各项都是给定的任意系数,b j 必须是正数,一般 m<n.实际应用中可把各种线性规划的数学模型转换成标准型用单纯形法求解。〔实例 1〕某地有甲、乙两个水库,其日供水量分别为 35 万 m3/d 和 45万 m3/d,现有 A、B、C 三个城市需甲、乙两水库的供水,其日需水量分别为 12万 m3/d,16 万 m3/d,18 万 m3/d(如图所示).甲水库向 A、B、C 三城市供水的单价分别为 C1 元/万 m3,C2 元 /万 m3,C3 元/万 m3;乙水库向 A、B、C 三城市供水的单价分别为 C4 元/万 m3,C5 元/万 m3,C6 元/万 m3,问如何向三城市分配甲、乙水库的水量,可以使总的输水费用最省?分析:首先设甲水库向三城市的日供水量分别为 X1、 X2 、X 3;乙水库向三城市的日供水量分别为 X4、X 5、X 6。然后建立约束条件的数学模型,约束条件有:(1)甲、乙水库供水量应满足各城市需水量;(2)甲、乙水库供水总量要小于水资源总量;(3)甲、乙水库向各城市供水量应大于或等于零。最后,建立目标函数。解答:(计算过程略)X6C6X2C2X5C5X4C4X3C3X1C135 万 m3/d45 万 m3/d12 万 m3/d18 万 m3/d16 万 m3/dABC甲乙最佳方案以输水费用最少为目标,即 Zmin=C1X1+C2X2+C3X3+C4X4+C5X5+C6X6.〔实例 2〕某灌区在年初根据预报估算水源可供水量为 240 万 m3,计划灌溉小麦、玉米两种作物,其灌溉面积不超过 10hm2,两种作物的毛灌溉定额及灌溉净效益如下表:问该年两种作物的种植计划如何安排可使灌溉总净效益最大?作物 毛灌溉定额/(m 3/hm2) 灌溉净效益/(元/ hm 2)小麦 4500 600玉米 3000 450分析:首先设该年小麦、玉米种植面积分别为 X1hm2 和 X2hm2。然后建立约束条件的数学模型,约束条件有:(1)两种作物灌溉用水量不应超过供水量;(2)两种作物种植面积不超过 10hm2,且分别大于或等于零。最后,建立目标函数。解答:(计算过程略)以灌溉总净效益最大为目标,即 Zmax=600X1+450X2.〔实例 3〕某灌溉水库可控制甲、乙两灌区,其耕地面积分别为 7000hm2 和13000hm2,由于两地自然条件及群众种植习惯上的差异,设计年采用了不同的综合灌溉定额和产值,如表所示。地区 甲 乙设计综合灌溉定额(m 3/h
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