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运动方程建立的方法.pptx

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运动方程建立的方法.pptx
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.3 Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法) Hamilton原理:在任意时间区段[t1, t2]内,体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。 T — 体系的总动能; V — 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能; Wnc— 作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功; δ— 在指定时间段内所取的变分。对于静力问题 : —最小势能原理。,2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.3 Hamilton原理 Hamilton原理的优点:不明显使用惯性力和弹性力,而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲,仅涉及处理纯的标量,即能量。而在虚位移原理中,尽管虚功本身是标量,但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。动能:集中质量 转动质量位能:拉伸弹簧 转动弹簧多自由度体系: 动能 位能,,2.2 基本力学原理与运动方程的建立 用Hamilton原理建立体系的运动方程体系的动能: 位能(弹簧应变能):因此能量的变分:非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功) 将以上两式代入Hamilton原理的变分公式,得:对上式中的第一项进行分部积分,,2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.4 Lagrange方程 Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法,实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理,就是运动的Lagrange方程,其表达式如下: 其中:T —— 体系的动能;V —— 体系的位能,包括应变能及任何保守力的势能;Qj——与qj相应的广义力。,2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8 如图所示一复合摆,摆的杆长分别为l1和l2,摆的质量分别为m1和m2,忽略杆的分布质量,采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为 杆1和杆2的转角。 为方便计算体系的动 能,也给出了直角坐 标系,在直角坐标系 中更容易建立体系的 势能和动能公式。,,,,,2. 2.4 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例2.8 和 广义坐标q1、q2 的关系 及其 速度之间的关系如下:,,,,,2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8体系的动能T:设q1=q2= 0时是0势能位置,则势能(位能)V:,,,,,2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8取Lagrange方程中的i=1, 2,得到, 假设非保守力,即阻尼力和外力都为零,则Q1=Q2=0, 将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程: 可以发现以上运动方程公式是高度非线性的。,,,,,2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8 复合摆的运动方程: 当微幅振荡时,q1、q2很小,忽略高阶小量,运动方程可化为:这是一线性方程组,可见只有当微幅摆动时,复合摆的运动方程才成为线性的。当m2=0时,得到单摆的运动方程:,,,,,,2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.4 Lagrange方程 应用Lagrange方程方法建立体系运动方程 的步骤: 建立坐标系,确定广义坐标; 建立广义坐标与物理坐标之间的关系; 写出体系动能和势能的表达式; 代入Lagrange方程写出体系的运动方程。,四种建立运动方程的方法的特点D’Alembert原理:是一种简单、直观的建立运动方程的方法,得到广泛的应用。D’Alembert原理建立了动平衡的概念,使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。当结构具有分布质量和弹性时,直接应用D’Alembert原理,用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。虚位移原理:部分避免了矢量运算,在获得体系虚功后,可以采用标量运算建立体系的运动方程,简化了运算。,五种建立运动方程的方法的特点Hamilton原理:是一种建立运动方程的能量方法(积分形式的变分原理) ,如果不考虑非保守力作的功(主要是阻尼力),它是完全的标量运算,但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。Lagrange方程:得到更多的应用,它和Hamilton原理一样,除非保守力(阻尼力)外,是一个完全的标量分析方法,不必直接分析惯性力和保守力(主要是弹性恢复力),而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。,2.2 基本力学原理与运动方程的建立 4种建立运动方程的方法的特点,运动方程的方法,2.2 基本力学原理与运动方程的建立单自由度体系的运动方程单自由度系统运动方程反映了结构动力学中将遇到的
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