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“且、或、非”与“交、并、补”(张晓军 ).doc

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“且、或、非”与“交、并、补”摘要 逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”与集合中的“交” 、 “并” 、 “补”密切相关,掌握它们的关系你会发现逻辑联结词其实很容易 理解。关键词 逻辑联结词 真命题 假命题天长中学 张晓军逻辑联结词是学习简易逻辑知识的基础,与其它内容有着密切的联系,在学习该部分内容时,不少同学由于对逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的含义理解不透,而常常造成解题失误。实际上,集合中的“交” 、 “并” 、 “补”与逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”密切相关,本文将和你谈谈它们之间的关系。一、 “且”与“交”的关系先看一个具体例子.我们知道,由“2是偶数”与“2是质数”都是真命题,可以得到“2是偶数且是质数”是真命题.另一方面,由集合的“交”运算可以知道:由2∈{偶数} ,2∈{质数} ,可以得到2∈{偶数}∩{质数}.如果把“真”对应于“∈” , “且”对应于“交” ,那么, “2是偶数是真命题”可以对应于“2∈{偶数} ”, “2是质数是真命题”可以对应于“2∈{质数} ”, “2是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“2∈{偶数}∩{质数} ”.从上述例子得到启发,我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立联系.我们知道,对于逻辑联结词“且”有:如果 p,q 都是真命题,则 p∧q 是真命题;如果 p,q 中至少有一个是假命题,则 p∧q 是假命题.对于集合的“交”有:若 a∈P,a∈Q,则 a∈P∩Q;若 a P 或 a Q,则 a P∩Q.把命题 p,q 分别对应于集合P,Q, “真” “假” “∧”分别对应于“∈” “ ”“∩” ,那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性.更具体地说,就是“p 是真命题”对应于“a∈P” , “q 是真命题”对应于“a∈Q” , “p∧q 是真命题”对应于“a∈P∩Q” , “p∧q 是假命题”对应于“a P∩Q”.二、 “或”与“并”的关系再看一个具体例子.我们知道,由“ 是无理数”与“ 是实数”都是真命题,可以得到“ 是无理数或是实数”是真命题.同样由集合的“并”运算可以知道:由∈{无理数} , ∈{实数} ,可以得到 ∈{无理数}∪{实数}.如果把“真”对应于“∈” , “或”对应于“并” ,那么, “ 是无理数是真命题”可以对应于“ ∈{无理数} ”, “ 是实数是真命题”可以对应于“ ∈{实数} ”,“ 是无理数或是实数是真命题”就可以对应于“ ∈{无理数}∪{实数} ”.于是,我们可以在逻辑联结词“或”与集合的“并”运算之间建立联系.我们知道,对于逻辑联结词“或”有:如果 p,q 都是假命题,则 p∨q 是假命题;如果 p,q 中至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.对于集合的“并”有:若 a P,a Q,则 a P∪Q. 若 a∈P,a Q,则 a∈P∪Q 或者若a P, a∈Q,则 a∈P∪Q. 把命题 p,q 分别对应于集合P,Q, “真” “假”“∨”分别对应于“∈” “ ”“∪” ,那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性.也就是说“p 是真命题”对应于“a∈P” , “p 是假命题”对应于“a P”, “q 是真命题 ”对应于“a∈Q” , “q 是假命题”对应于“a Q”,“p∨q 是假命题”对应于“a P∪Q” , “p∨q 是真命题”对应于“a∈P∪Q”.由此我们知道逻辑联结词中“或”的含义与并集中的“或”的含义是一致的,但要注意它们都不同于生活用语中“或”的含义,生活用语中“或”表示“不兼有” ,而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有” 。三、 “非”与“补”的关系同样我们先看一个具体例子.若以整数集为全集,则偶数集和奇数集互为补集.由“2是偶数”是真命题,可以得到“2是奇数”是假命题;由“3是偶数”是假命题,可以得到“3是奇数”是真命题.用集合的方式则可表达为:由2∈{偶数} ,可以得到2 {奇数} ;由3 {偶数} ,可以得到3∈{奇数}.如果把“非” “真” “假”分别对应于“补” “∈” “ ”,那么,命题 p 和它的否定 p 可以对应于集合P和它的补集 , “p 是真命题”对应于“a∈P” , “ p 是假命题”对应于“UPuð”, “p 是假命题”对应于“a P”, “ p 是真命题”对应于au“ ”.U一般地,对于逻辑联结词“非”有:若 p 是真命题,则 p 是假命题;若 p 是假命题,则 p 是真命题.对于集合的“补”有:设U为全集, ,若 a∈P,则 ;若 ,则 .PUaPuðaUPuð对“非”的理解,可联想集合中“补集”的概念。 “非”有否定的意思,一个命题 经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非 ”
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