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一题多解之利用基本不等式求最值.doc

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一题多解之利用基本不等式求最值.doc
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一题多解之利用基本不等式求最值用基本不等式求函数的最大(小) 值是高中数学的一个重点 ,三个条件必须同时具备,才能应用,即“一正,二定,三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得, “相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。例、已知正数 a,b 满足 31ba,求 ba的取值范围。思路点拨:一种思路是根据划归思想,二元转化为一元,即利用 31ba将 中的 b 用 a 表示,然后用基本不等式求范围;另一种思路是对 31ba变形,获得 与 ab 的关系,然后利用解不等式消去ab 建立 ba的不等式求解 .解析:方法一:由 31得 , 1a,由于 a0,b0,可得 31a,于是)1(9aab 42)(9)(23)(93  ,当 )3(1,即 2时取等号, ba的取值范围是 ,3[令 tag3)(2,则 0)31(24)(3)(22gtttag解得 34t, 所以 ba的取值范围是 ),34[运用基本不等式求最值的技巧:1、含有多个变量的条件最值问题,一种方法是减少变量的个数,将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决;另一种方法是采用代换的方法,对代数式变形后, 在运用基本不等式。2、妙用“1”的代换求代数式的最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常 数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习:1.已知 a>0,b>0, 13,b则 a+2b 的最小值为( )(A)726 (B)2 (C)723 (D)14解析:选 A. 1aba()672,ab∴a+2b 的最小值为 726.2.若-4<x<1,则2xf()( )(A)有最小值 1 (B)有最大值 1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-13.已知 0<x< 1,则 4ylgx的最大值为_________.解析:∵0<x<1,∴lgx<0,-lgx>0. 4ylgx()2l, 即 y≤-4.当且仅当 41lgxxl0, 即 时等号成立,故 ymax=-4.4.已知函数 2y(2).1>(1)求 的取值范围; (2)当 x 为何值时,y 取何最大值?5.已知 a0,b0,a+b=2,则 14ab的最小值是( )(A) 72 (B)4 (C) 92 (D)5解析:选 C.由已知可得 14142ab()abab≥ 52ab9,当且仅当 a3, 时取等号,即 的最小值是 9.6.若 a0,b0,且 a+b=1,则 ab+ 1ab的最小值为( )(A)2 (B)4 (C) 74 (D)27.已知 f(x)=log2(x-2),若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值为( )(A)5 (B)7 (C)8 (D)9解析:选 B.由已知得 log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即 log2[(m-2)(2n-2)]=3,因此m,n1()8.于是 4n1.m所以 4 4232()37.m2A当且仅当 m2,即 m=4 时等号成立,此时 m+n 取最小值 7.
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