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第六章 不等式.ppt

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第1节 不等式的性质及比较法证明不等式,第6章 不等式,要点·疑点·考点,1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础,通过本节复习,要求理解不等式的性质,会讨论有关不等式命题的充分性和必要性,正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质: 1.a>b b<a.(反身性) 2.a>b,b>c =a>c.(传递性) 3.a>b  a+c>b+c.(平移性) 4.a>b,c>0 = ac>bc;a>b,c<0 = ac<bc.(伸缩性) 5.a>b≥0 = ,n∈N,且n≥2.(乘方性) 6.a>b≥0 = a>nb,n∈N,且n≥2.(开方性) 7.a>b,c>d = a+c>b+d.(叠加性) 8.a>b≥0,c>d≥0 = ac>bd.(叠乘性),2.掌握用比较法证明不等式的方法,熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——定号.其中的“变形”可以变成平方和,也可以变成因式的积或常数;有关指数式的比较法通常用作商法,步骤是作商——变形——与1比较大小.,1.设a<0,-1<b<0,则a,ab,ab2三者的大小关系为____________.2.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R且x≠1,则A,B的大小关系为A____B. 3.若n>0,用不等号连接式子 ___ 3-n.,课 前 热 身,a<ab2<ab,>,≥,4.若0<a<1,则下列不等式中正确的是( ) (A)(1-a)(1/3)>(1-a)(1/2) (B)log(1-a)(1+a)>0 (C)(1-a)3>(1+a)2 (D)(1-a)1+a>1,5.已知三个不等式:①ab>0,②-ca<-db,③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成___个正确的命题.,A,3,能力·思维·方法,1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N,x,y∈R+)的大小.,【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形,常利用因式分解、配方等方法,目的是使差式易于定号,一般四项式的分解常用分组分解法.,2. 设a>0,b>0,求证:,【解题回顾】(1)用比较法证明不等式,步骤是:作差(商)——变形——判断符号(与“1”比较);常见的变形手段是通分、因式分解或配方等;常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是,商比法只适用于两个正数比较大小. (2)证法2的最后一步中,也可用基本不等式来完成:,【解题回顾】在使用放缩技巧时,一定要注意方向,保持一致.,3. 已知x≥0,y≥0,求证:,延伸·拓展,【解题回顾】用定义法证明函数的单调性,多用到比较法,特别是作差比较,要切实掌握比较法的推理过程,注意推理的严密性.,4. 设0<a<1,根据函数的单调性定义,证明函数f(x)=logax+logxa在 上是增函数.,误解分析,(1)应变形到最佳形式再判断符号,否则既繁琐又易出错.,(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号,所以对数性质的应用是解决本题的关键.,第2节 用综合法、分析法证明不等式,要点·疑点·考点,2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确,因此我们常常用分析法寻找解题的思路,再用综合法表述.分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明,要注意几种方法的综合使用.,1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体,根据不等式的性质、基本不等式,经过变形、运算,导出欲证的不等式.,3.若 恒成立.则常数a的取值范围是_________.,1.当a>1,0<b<1时,logab+logba的取值范围是______________.,课 前 热 身,(-∞,-2],2.设 ,则函数 的最小值是____,此时x=_______.,4.设a、b、c∈R+,则三个数的值( ) (A)都大于2 (B)至少有一个不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一个不小于2,D,能力·思维·方法,1.已知a,b,c都是正数,且a≠b,a3-b3=a2-b2,求证:1<a+b<,【解题回顾】本题证明a+b>1采用了综合法,而证 明a+b< 是采用了分析法.在证题时,从已知条件 出发,实行降幂变换,证出了a+b>1;而从结论出 发,实行升幂变换,导出a+b< .这是两种不同的 思维程序.,【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式,再利用
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