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第六章 点的运动学.ppt

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第六章 点的运动学.ppt
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第Ⅱ篇 应用运动学,,第6章 点的运动学,运动学, 应用运动学,第二篇 应用运动学,运动学绪论,第六章 点的运动,第七章 刚体的基本运动,第八章 点的合成运动,第九章 刚体的平面运动,第十章 刚体的定点运动和一般运动,,运动学概要,运动学, 应用运动学,第二篇 应用运动学,运动学绪论,第六章 点的运动,第七章 刚体的基本运动,第八章 点的合成运动,第九章 刚体的平面运动,第十章 刚体的定点运动和一般运动,运动学(kinematics):,从几何角度研究物体机械运动规律,研究方法:,★ 矢量法(vector method),★ 分析法(analytic method),,第二篇 运动学,绪 论, 应用运动学,研究内容:,★ 运动方程,★ 运动的速度、加速度,★ 运动的分解与合成规律, 运动学模型及其运动形式,, 应用运动学,★模型:,点(particle),刚体(rigid body),接触轨道之前, 保龄球可以看作一 个点;,接触轨道之后, 保龄球在摩擦力 作用下发生滚动, 这时保龄球不再 是一点,而必须 看作刚体。,绪 论,第二篇 运动学,★运动形式,, 应用运动学,点的运动:,●曲线运动: 最一般的情形为三维变速曲线运动。,绪 论,第二篇 运动学,, 应用运动学,刚体运动:,平移 (translation),绪 论,第二篇 运动学,, 应用运动学,定轴转动 ( rotation about a fixed axis ),刚体运动:,绪 论,第二篇 运动学,, 应用运动学,平面运动 (planar motion),刚体运动:,绪 论,第二篇 运动学,, 应用运动学,定点运动 ( motion about a fixed point ),刚体运动:,绪 论,第二篇 运动学,, 应用运动学,一般运动,刚体运动:,,绪 论,第二篇 运动学,描述点运动方法:,矢量法(vector method ),直角坐标法(method of rectangular coordinates),自然法(natural method ),,第6章 点的运动学,运动学, 应用运动学,第六章 点的运动,描述点运动方法:,矢量法(vector method ),直角坐标法(method of rectangular coordinates),自然法(natural method ),,第6章 点的运动学,运动学, 应用运动学,第六章 点的运动,,第6章 点的运动学,矢量法, 应用运动学,★ 运动方程(equations of motion),★ 速度(velocity),★ 加速度(acceleration),运动方程(equations of motion),运动方程——矢量法中,运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量 表示。 简称为位矢。,,第6章 点的运动学,矢量法, 应用运动学,点在 t 瞬时的速度:, t 时间间隔内矢径的改变量,t 瞬时: 矢径 (t),t+ t 瞬时: 矢径 (t +  t )或 (t)+  (t), (t)= (t +  t )- (t),,第6章 点的运动学,矢量法, 应用运动学, 速 度(velocity),速 度—描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线;指向与点的运动方向一致;速度大小等于速度矢量的模。,,第6章 点的运动学,矢量法, 应用运动学,点在 t 瞬时的加速度:, t 时间间隔内速度的改变量,t+ t 瞬时:速度 (t +  t )或 (t)+  (t), (t)= (t +  t )- (t),,第6章 点的运动学,矢量法, 应用运动学,加速度(acceleration),t 瞬时: 速度 (t),加速度—描述点在 t 瞬时速度变化率的力学量。加速度的方向为  v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) ,大小为速度对时间一阶导数的模。,,第6章 点的运动学,矢量法, 应用运动学,,,第6章 点的运动学,直角坐标法, 应用运动学,★ 运动方程(equations of motion),★ 速度(velocity),★ 加速度(acceleration),在直角坐标系中,点在任意时刻在空间的位置由3个方程确定,即运动方程:,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t),由运动方程消去时间t即为动点轨迹方程:F(x,y,z)=0,,第6章 点的运动学,直角坐标法, 应用运动学,运动方程(equations of motion),轨迹方程(equations of path),将矢径表示成,(Oxyz)为定参考系,,第6章 点的运动学,直角坐标法, 应用运动学, 速 度(velocity),求导,有,点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。,,第6章 点的运动学,直角坐标法, 应用运动学, 速 度(velocity),点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。,,第6章 点的运动学,直角坐标法, 应用运动学,加速度(acceleration),,第6章 点的运动学,例 题 1, 应用运动学,,第6章 点的运动学,例 题 1, 应用运动学,机构分析,考虑任意位置, M点的坐标 x,y可以表示成,消去上式中的角φ,即得M点的轨迹方程:,解:,,第6章 点的运动学,例 题 1, 应用运动学,,第6章 点的运动学,例 题 1, 应用运动学,动点轨迹,圆柱的半径为r,绕铅直固定轴 z 作匀速运动,周期为 T 秒。动点M以匀速 u 沿圆柱的一条母线NM运动(如图)试求M点的轨迹、速度和加速度。,,第6章 点的运动学,例 题 2, 应用运动学,,第6章 点的运动学,例 题 2, 应用运动学,运动分析,取固定直角坐标系Oxyz。设初始M点位于M0位置,在瞬时t ,,M点的轨迹方程:,此螺旋线方程即为M点在固定坐标系中的运动轨迹。,解:,1. M点的运动方程和轨迹。,,第6章 点的运动学,例 题 2, 应用运动学,故M点的坐标(运动方程)为 :,,第6章 点的运动学,例 题 2, 应用运动学,动点运动轨迹,2. M点的速度。,对运动方程求导得,常数,速度与圆柱母线的交角γ 不变。,,第6章 点的运动学,例 题 2, 应用运动学,3. 点M的加速度,对速度方程求导得,因az= 0,故加速度 a 垂直于 z 轴,加速度 a 的方向指向 z 轴。,,第6章 点的运动学,例 题 2, 应用运动学,,★ 运动方程(equations of motion),★ 速度(velocity),★ 加速度(acceleration),,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,运动方程 —在自然法中,运动方程用点在任意瞬时t的弧坐标s表示。,(+),,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,运动方程(equations of motion),思考:曲线运动中,点的位移、路程、弧坐标是否相同?,,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,● 密切面(osculating plane),当P´点无限接近于P点时,过这两点的切线所组成的平面称为P点的密切面。(osculating plane),,N(主法线),P: 空间曲线上的动点;,T: 过动点P的密切面内的切线,其正向指向弧坐标正向;,N: 密切面内垂直于切线的直线,其正向指向曲率中心;,B: 过动点P垂直于切线和主法线的直线,其正向由右手法则确定。,,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,● 自然轴系(natural axes coordinates),自然轴系的基矢量:,,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,● 自然轴系(natural axes coordinates),点在 t 瞬时的速度, 速 度 —速度的方向沿着运动轨迹的切线;指向与点的运动方向一致;速度大小等于该点弧坐标对时间的一阶导数。,,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学, 速 度(velocity),点在 t 瞬时的加速度,,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,,,加速度(acceleration),加 速 度 —加速度分为切向加速度和法向加速度,切向加速度的方向沿着运动轨迹的切线,指向与点的运动方向一致,大小等于该点弧坐标对时间的二阶导数;法向加速度的方向沿着运动轨迹的法线,指向轨迹的曲率中心,大小等于该点速度平方除以轨迹曲率半径。,,,,第6章 点的运动学,自然法, 应用运动学,加速度(acceleration),半径是r的车轮沿固定水平轨道作纯滚动。轮缘上一点M,在初瞬时与轨道上的O点叠合;在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt,其中ω是常量。试求在车轮滚动的过程中该M点的运动方程,瞬时速度和切向及法向加速度。,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,在M点运动平面内取直角坐标系Oxy如图,初始时M位于O点,车轮在任意瞬时作纯滚动,故有OH=弧MH 。于是,在图示瞬时动点M 的坐标为,1. 运动方程。,解:,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,M点的轨迹是滚轮线(即摆线),其两端O和P是尖点,车轮滚一转的时间 T=2π/ω 。,以 代入,得M点的运动方程 :,对,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,动点运动轨迹,求运动方程对时间的一阶导数,得,故得M点速度 v 的大小和方向,有,M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。,2. 瞬时速度,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,求速度对时间的一阶导数,得,故得M点加速度 a 的大小和方向,有,思考:M在尖点时附近速度和加速度如何?,3. 瞬时加速度,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,得切向加速度,4. 切向、法向加速度,矢量 at 和 an 的方向分别沿MD 和MH。,M点的法向加速度大小,,第6章 点的运动学,例 题 3, 应用运动学,,,第6章 点的运动学,课外思考, 应用运动学,课外思考:,推导动点作平面曲线运动运动时在极坐标系中速度与加速度的表达公式。,
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