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第六章 点的运动学.ppt

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第六章 点的运动学.ppt
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第六章 点的运动学,第六章 点的运动学,§6–1 描述点运动的矢量法,§6–2 描述点运动的直角坐标法,§6–3 描述点运动的弧坐标法,结论与讨论,,,,,,§6-1 矢量法,1、点的运动方程—变矢量形式,,,,,动点M 在空间运动时,矢径 r 的 末端将描绘出一条连续曲线,称为 矢径端图,它就是动点运动的轨迹。,运动方程用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。 r(t)简称为位矢。,oxyz—参考系 r—动点M 相对于原点O的位置矢量(矢径),,2、点的速度矢量,(1)点的平均速度,,,, t 时间间隔内矢径的改变量,—点M的位移,动点M在时间间隔△t 内的平均速度,(2)点的瞬时速度,速度 — 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的 方向沿着运动轨迹的切 线;指向与点的运动方向一致;速度大小等于矢量的模。,3、点的加速度矢量,,速度端图,(1)点的平均加速度, t 时间间隔内速度的改变量,动点M在时间间隔△t 内的平均速度,(2)点的瞬时加速度,加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的力学量。加速度的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等于矢量 a 的模。,§6-2 直角坐标法,1、点的运动方程和轨迹方程,不受约束的点在空间有3个自由度,在直角坐标系中,点在空间的位置由3个方程确定:,(1)点的运动方程和轨迹方程,(2)点的轨迹方程,(与时间t无关),平面曲线,2、点的速度,(Oxyz)为定参考系,,★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间 的一阶导数。,O,,,,,,,,M,,,速度的大小:,速度的方向余弦:,★点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。,3、点的加速度,,设:,,加速度的大小:,加速度的方向余弦:,,问题:如何求点运动方程、运动轨迹以及点的速度和加速度的大小与方向?,几何性质,,运动方程,,运动轨迹,,点的速度,点的加速度,,例题1 椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动,端点A以铰链连接于规尺BC;规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动,求规尺上任一点M 的轨迹方程。,已知:,考虑任意位置, M点的坐标 x,y可以表示成,消去上式中的角ψ,即得M点的轨迹方程:,解:,轨 迹 演 示,思考:M点的轨迹是什么曲线 ?,轨 迹 演 示,例题2 半径为 r 的轮子沿直线纯滚(不滑动),轮转角 =  t ( 为常量),求轮上任一点M的运动方程、速度和加速度。,,,x,,,,,,,,C,O,y,,,M,解:取M点与地接触,开始时该点与直角坐标轴原点重合,建立图示直角坐标系。,直角坐标表示的M点运动方程:,由纯滚动条件,道路转弯中的力学问题,双曲线,§6-3 自然法,列车沿铁轨行驶若将列车视为质点且运动轨迹已知。,问题: 质点M沿椭圆轨道匀速率运动,如何确定其加速度的大小和方向?,问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变化规律,如何确定点的加速度?,1、弧坐标要素与运动方程,思路:如果点沿着已知的轨迹运动,则点的运动方程,可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。,● 弧坐标具有以下要素:,(1)有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点);,(2)有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向);,(3)有相应的坐标系(自然轴系)。,s = f (t),,(+),(-),● 弧坐标形式的运动方程:,?,2、自然轴系,(1)密切面,当M´点无限接近于M点时,过这两点的切线所组成的平面,称为M点的密切面。,① 空间曲线上的任意点都存在密切面,而且是惟一的。 ② 空间曲线上的任意点无穷小邻域内一段弧长,可以看作是位 于密切面内的平面曲线。 ③ 对于平面曲线而言,密切面就是该曲线所在的平面。,结论:,,,s-,s+,(2)自然轴系,自然轴系P-nb,P- 空间曲线上的动点;,T —过动点P的密切面内的切 线,其正向指向弧坐标正向;,N —密切面内垂直于切线的直线,其正向指向曲率中心;,B —过动点P垂直于切线和主法 线的直线,其正向由B=T × N确定。,自然轴系的基矢量:、n、b,b= × n,自然轴系的特点:跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。,,自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。 固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。,3、点的速度,,经过△t 时间间隔,点沿轨迹由M 到 M′,(1)速度大小,(2)速度方向,当△t→0时,|△r | = |△s|,,,,,,有关 两点讨论:,★ 点的速度在切线轴上的投影 等于弧坐标对时间的一阶导数。,4、点的加速度,,,,,反映加速度大小的变化,记为,反映加速度方向的变化,记为,(1)反映加速度大小变化的加速度,方向沿轨迹切线。称为切向加速度。,(2)反映加速度方向变化的加速度,,,,,,根据矢量导数定义:,曲率定义:曲线切线的转角对弧长的一阶导数的绝对值。曲率的倒数称为曲率半径。曲率半径用ρ表示。,,,,,和´以及  同处于M点的密切面内, 的极限方向垂直于 ,亦即 n方向。,,,,,加速度表示为自然轴系投影形式,,几点讨论,点的加速度的大小和方向,,若 at = 恒量,则动点的运动称为曲线匀变速运动 由 dv = at d t 积分得 v = v0 + at t 同理,得 s = s0 + v0t +,at反映点作曲线运动的运动速度大小变化。 曲线匀速运动: at = 0 注意:曲线运动中,除 v = 0的瞬时外,点的法向加速度总不为零。直线或曲线的拐点处ρ→∞,法向加速度等于零。,几点讨论,例:已知点的运动方程,求点任意时刻的速度、加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。,运动方程:,解:,解(1)建立图示弧坐标,加速度,速度,运动方程,例题3 已知:R, = t ( 为常数),求:(1)小环M的运动方程、 速度、加速度;(2)小环M相对于 AB 杆的速度、加速度,(2) 建立图示直角坐标系,加速度,速度,运动方程,例题4 销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑 动,OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角 (时间以s计, ψ 以rad计),试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。,运 动 演 示,已知销钉B的轨迹是圆弧DE,中心在A点,半径是R。选滑道上O'点作为弧坐标的原点,并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标,这就是B点的自然形式的运动方程。,解:,B点的速度在切向上的投影,B点的加速度 a 在切向的投影,而在法向的投影,且a1沿切线的负向。,当 时, , , 又 , 。 可见 , 这时B点的加速度大小,当 t1= 1 s 时, 又 可见,这时点B的加速度大小,且 a2 沿半径 B2A。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质:,(A) 越跑越快;,(C) 加速度越来越大;,(D) 加速度越来越小。,(B) 越跑越慢;, 思考, 描述点运动的三种方法比较,● 变矢量法-结果简明,具有概括性,且与坐标选择无关。对于实际问题需将变矢量及其导数表示成标量及其导数的形式。,● 直角坐标法-实际问题中,一种广泛应用的方法。,● 弧坐标法-应用于运动轨迹已知的情形,其最大特点是将速度矢量大小的变化率和方向变化率区分开来,使得数学表达式的含义更加清晰。,结论与讨论, 点的运动学应用的两类问题,, 第一类问题:,已知运动轨迹,确定速度与加速度;,给定约束条件,确定运动轨迹、速度、加速度。, 第二类问题:,已知加速度以及运动的初始条件,确定速度和 运动轨迹-第一类问题的反运算。, 速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别,,,速度大小,速度方向,,,速度大小的变化率,速度方向的变化率,,第六章结束,
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