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优化模型3.ppt

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§ 3.4 优化问题与规划模型,,回顾: 1. 无约束最优化问题 2. 线性规划整数规划对偶问题解释和灵敏度分析 lingo命令.,——0.1规划,3. 非线性规划,例8 抢渡长江(改编2003年建模竞赛大专组D题) 2002年5月1日,“武汉抢渡长江挑战赛”抢渡的起点设在武昌汉阳门码头,终点设在汉阳南岸咀,江面宽约1160米。 据报载,当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人(其中专业人员将近一半),仅34人到达终点,第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外,大部分选手由于路线选择错误,被滚滚的江水冲到下游,而未能准确到达终点。,假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米,见示意图。,1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变,且竞渡区域每点的流速均为1.89 米/秒。 如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点?试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向,并估计他的成绩。,解1. 假设 1.江面上每点流速相同,v=1.89 m/s. 2. 游泳者以常速u m/s游完全程. 3. 游泳方向保持不变,向上游与垂直对岸的直线成x角. 则根据路程、速度和时间T的关系得到方程式: T u cos x = H ,T (v-usin x) =L。 如果x=0(与岸边垂直方向) 由方程式H/u= L/v解得u=2.1924 m/s。 因为世界纪录男子1500米自由泳为14分41秒约为1.7米/秒,所以,如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们不可能到达终点。 由H /( u cos x)=T = L / (v-usin x),u=1.5 m/s 可以解得x,并计算成绩T。,2.若流速沿离岸边距离的分布如下 (设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向),游泳者的速度大小(1.5米/秒)仍全程保持不变,试为他选择游泳方向和路线,估计他的成绩。,解2 假设 1. 江水有两个不同的流速 v1=1.47m/s, v2=2.11m/s, 2.游泳者以常速u=1.5 m/s游完全程. 3. 在不同的江水流速区域内游泳者采取相应的 两个不同的游泳方向xi( i=1,2),游过相应的江面段H1=400米,H2=760米,同时向下游方向游过Li,L1+L2=1000米。,模型: 决策变量:游泳方向x1和x2 目标函数:游完全程的时间T=t1 +t2, 在约束条件:路程、时间和速度关系: Li= ti (vi-u sin xi ),Hi =ti u cos xi,i=1,2 即 t1*1.5*cos(x1)=400; t2*1.5*cos(x2)=760; t1*(1.47-1.5*sin(x1))+ t2*(2.11-1.5*sin(x2)) =1000;. 下目标函数的最小值点。,Model: min=t1+t2; t1*1.5*@cos(x1)=400; t2*1.5*@cos(x2)=760; t1*(1.47-1.5*@sin(x1))+ t2*(2.11-1.5*@sin(x2)) =1000; end,分析结果 Objective value: 904.0228 Variable Value T1 329.8509 T2 574.1719 X1 76.02751 X2 0.4897929 结论: 在江中水流快的区域以0.49=28.10 角度向上游,在江中水流慢的区域以76 - 6.28*12= 0.64=36.680角度向上游。 成绩904秒=15.067分钟。,3. 若流速沿离岸边距离为连续分布如下。则游泳的速度大小和方向也应该随之调整,才能取得最佳成绩。试为他选择游泳方向和路线,估计他的成绩。,,解3 假设. 1 游泳者以常速u=1.5 m/s游完全程. 2 对应不同的江水流速v,游泳者采取不同的游泳方向x. 模型:变分问题:求连续函数x(t)满足如下的积分方程,使得T最小,,连续问题离散化: 将靠近岸边200米江面分成有限段(例如40段),假设在每一段上江水的流速是常数。 模型:优化问题: 决策变量:游泳方向x0,xi, i=1… 40 目标函数:游完全程的时间Σiti+t0. 约束条件:路程、时间和速度关系: Σi (2.28*(i-1)/40-1.5*sin(xi))*ti、+(2.28-1.5*sin(x0))*t0 =1000/2. ti*1.5*cos(xi)=200/40, t0*1.5*cos(x0)=760/2,i=1,2,…40,model: sets: steps/140/:t,x; endsets min=@sum(steps(i):t(i))+t0; @for(ste
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