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已发用换元法求三类无理函数的值域.doc

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1用换元法求三类无理函数的值域大理州宾川县教育局教研室 张 辉(邮编 671600 邮箱 bcxjys@126.com 联系电话 13987242186)换元是一种变量代换,其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式,从而把一个函数变为简单函数。本文用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨。一、形如“ ”的函数baxnmy例 1、求函数 的值域.1解:∵函数的定义域为{ | },令 ,则 ≥0xxt1t于是 , = .21txty2452当 时, ∈{ | |} , ,t43x1maxy当 +∞时,y -∞.∴函数 的值域是{y∣-∞<y≤ }x145例 2、求函数 的值域.y2-解:∵函数的定义域为{ | },令 ,则 ≥0,xxt2-1t于是 , = .21txty21t当 =0 时, ∈{ | } , ,tx21maxy当 +∞时,y -∞.∴函数 的值域是{y∣-∞<y≤ }x2-1点评:当根号内外自变量 的次数相同时,一般采用代数换元法求函数的值域。令 ,可将原函数转化为 的二次函数 ,batt 02prqty2然后求出函数的值域。此法当然也适用于形如“ ”的函baxnmy22数。例 3、求函数 的值域.123xy解:∵函数的定义域为{ | ∪ },2x令 ( ≥0),则 , .12xtt12t 12t∴ .3732ttty当 时, ∈{ | ∪ } , .31t35xx2x37miny当 +∞时,y +∞.∴函数 的值域是{y∣ ≤y<+∞}.12x37二、形如“ ( <0, >0)”的函数cbanmy2aacb42例 4、求函数 的值域.1x解:∵函数的定义域为{x∣ } ,令 且1xtsin2,∴ ,4sin2cosintty由 ∈ ,得4t3, 1sit∴函数 的值域是{y∣-1≤y≤ }.21yx2例 5、求函数 的值域.解:∵函数的定义域为{x∣ },令 且 .1xtsin 2,3∴  4sin24sicosin2cosin tttty由 ,得4,3t i1t∴函数 的值域是{y∣- ≤y≤1}.2xy2例 6、求函数 的值域.x103解:∵函数的定义域为{x∣ },5令 且txsin25 2,∴ 74sinco7i ttty由 ,得43,t 1i2t∴函数 的值域是{y∣7- ≤y≤9}.yxx21032点评:当根号外自变量 的次数是一次,根号内自变量 的次数是是二次,x且 , ,函数的定义域为闭区间 ,一般采用三角换元法求函数a0[]12,的值域。可令 且 ,原函数可化为 txxsin2112 ,型函数,可得出函数的值域。ktAysin三、形如“ ( <0)”的函数dcxnbamya例 7、求函数 的值域。836解:∵函数的定义域为{x∣ }.82x令 且 , sin102tx ,0t∴ 6sin12si3cottty4由 ,得 .32,6t 16sin1t∴函数 的值域是{y∣ ≤y≤2 }.yx801例 8、求函数 的值域.42解:∵函数的定义域为{x∣ }.3x令 且 ,sin52tx 2,0t∴ tttty sin32co15sin1co= sincoiicoi5 tttt= , (其中 )tsin121arctn由 ,得 ,2,0t rt,rtt∴ .36sin31t∴函数 的值域是{y∣ }.42xy 510y例 9、求函数 的值域.21解:由于 ,所以不妨令 , ,3412x 1sin32tx2,0则  6icoicossin22 tttty由 ,得 , .,0t 3,6t 1)sin(21t所以函数 的值域是{y∣1≤y≤2}.2413xxy点评:当两根号内自变量都是一次(或都是二次) ,且 时,函数的定ac0义域为闭区间 ,可采用三角换元法。令 ,且[]12, 1212sinxtx5,原函数可化为 型的函数,易得出函数的值域。2,
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