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第8讲 函数与方程.doc

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第 8 讲 函数与方程【2013 年高考会这样考】1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数.2.利用函数零点求解参数的取值范围.3.利用二分法求方程的近似解.【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念,方程的根、函数与 x 轴的交点,三者之间的区别与联系,能够实现彼此之间的灵活转化,并能利用特殊点的函数值,根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间;(2)灵活运用函数图象,将函数零点转化为两个函数图象的交点,注重数形结合思想的应用.基础梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y= f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f (x)的零点.(2)几个等价关系方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y=f (x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么,函数 y=f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.2.二次函数 y=ax 2+bx+c(a>0)零点的分布根的分布(m<n<p 为常数) 图象 满足条件x1<x 2<m Error!m<x 1<x 2 Error!x1<m<x 2 f(m)<0m<x 1<x 2<n Error!m<x 1<n<x 2<p Error!只有一根在(m,n) 之间Error!或 f(m)·f(n) <03.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a,b] 上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f (x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近 零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下:①确定区间[a,b] ,验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε;②求区间(a,b)的中点c;③计算 f(c);(ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;(ⅱ)若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c( 此时零点 x0∈(a,c));(ⅲ)若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c( 此时零点 x0∈(c,b)).④判断是否达到精确度 ε.即:若|a-b| <ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④.一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断.两个防范(1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,是数不是点.(2)若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即 f(a)·f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图,f(a)·f(b)>0,f(x )在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要.三种方法函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)·f(b)< 0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.双基自测1.(2011·福建 )若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) .A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2 ,+∞)D.(- ∞,-1) ∪(1,+ ∞)解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 Δ>0,即m2-4>0,解得 m<-2 或 m>2,故 选 C.答案 C2.若函数 y= f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x) 的零点( ).A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个答案 B3.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( ) .A.①② B.①③ C. ①④ D.③④答案 B4.(2011·新课标全国 )在下列区间中,函数 f(x)=e x+4x-3 的零点所在的区间为( ).A. B.(- 14,0) (0,14)C. D.(14,12) (12,34)解析 因为 f =e +4× -3=e -2<0, f =e +4× -3=e -1>0,所以(14) 14 14 14 (12) 12 12 12f(x)=e x+4x- 3 的零点所在的区 间为 .(14,12)答案 C5.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)=x 2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是________.解析 函数 f(x)=x 2+x+a 在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)2.(2)由已知条件Error!解得 22.(4)由已知条件 f(1)f(3)0,其中 e 表示自然e2x对数的底数).(1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围;(2)确定 t 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.分析:(1)可结 合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解.[审题视点] 画出函数 图象,利用数形结合法求函数范围.解 (1)法一 ∵g(x )=x+ ≥2 =2e,e2x e2等号成立的条件是 x=e.故 g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e ,则 g(x)=m 就有零点.法二 作出 g(x)=x+ 的图象如图:e2x可知若使 g(x)=m 有零点,则只需 m≥2e.法三 解方程由 g(x)=m,得 x2-mx+e 2=0.此方程有大于零的根,故Error!等价于Error!,故 m≥2e.(2)若 g(x)-f(x) =0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x )中函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,作出 g(x)=x+ (x0)的图象.e2x∵f(x)=-x 2+2ex +t-1=-(x-e) 2+t-1+e 2.其对称轴为 x=e ,开口向下,最大值为 t-1+e 2.故当 t-1+e 22e,即 t-e 2+2e +1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.∴t 的取值范围是(-e 2+2e+1,+∞).此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得 问题简单明了, 这也体现了,当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形 结合法求解.【训练 3】 已知函数 f(x)=ax 3-2ax+3a-4 在区间 (-1,1)上有一个零点.(1)求实数 a 的取值范围;(2)若 a= ,用二分法求方程 f(x)=0 在区间(-1,1)上的根.3217解 (1)若 a= 0,则 f(x)=-4 与题意不符,∴a≠0 ,∴f(-1)·f(1)= 8(a-1)( a-2)<0,∴1<a<2.(2)若 a= ,则 f(x)= x3- x+ ,3217 3217 6417 2817∴f(-1)>0, f(1)<0,f(0)= >0,2817∴零点在(0,1) 上,又 f =0,(12)∴f(x)=0 的根为 .12难点突破 6——如何利用图象求解函数零点问题数形结合是重要的思想方法之一,也是高考考查的热点问题,利用函数图象判断方程是否有解,有多少个解是常见常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其基本思路是把函数分成两个函数的差,分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出,则函数零点个数就是两函数图象交点的个数.一、判定函数零点的个数【示例】► (2011· 陕西)函数 f(x)= -cos x 在[0,+∞)内( ).xA.没有零点 B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点二、判断零点的范围【示例】► (2011·山东)已知函数 f(x)=log ax+x -b( a>0,且 a≠1).当2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N *,则 n=________.
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