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2-曲线论.doc

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7Ch.2 曲线论§1 曲线与矢函数一般地说,若一个矢量 决定于一个(纯量)变数 ,我们就把它叫做变量 的矢函数,rt t写成 。)(tr在标架 中,曲线的(分量式)参数矢方程为:],;[321eO32)()()(ertxttx§2 矢函数的导矢与曲线的切线某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。若矢函数 321)()()(eertxttx在 t0 连续,则其导矢为3020100 )()()()()( etxtttdt 导矢函数321)()()(eertxttx有时也简称为导矢。设 21)(tt,: r为任意空间曲线。若矢函数在闭节 里每一个 t 值连续,则曲线 成为连续曲线。],[1 导矢的几何意义: 保证曲线 在 t0 值对应点的切线存在而且 代表这条0)(tr)(0tr切线的方向。 就叫做 在该点的一个切(线)矢(量) 。)(0t若在闭节 里, 而且连续,则 的切线随着切点的移动而连续变动位置,],[21)(tr这样的曲线叫做光滑曲线。矢函数的微分,dt)(r)(tr这个定义在形式上和纯量函数一样。若 , , 是含纯量变数 t 的矢函数,  为 t 的纯量函数,则123r)(dt82121)(rrdt212121)(rrt),(),(),(, 321333 rd有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等概念,也有泰勒公式,不定积分和定积分概念。§3 切线与法面.弧长除非另有声明,我们永远假定,对于曲线21)(tt,: r(即保证 上没有奇点) ,而且遇到的矢函数 的各阶导矢都是连续的。0)(tr )(tr在 点的切线方程为)(0tr)(0tρ其中 表示切线上“流动点”的径矢,  是参数。经过 而垂直于切线的平面叫做 在0r的法面,其方程为0r0)()(0ttrρ其中 表示法面上流动点的径矢。经过 而垂直于切线的每一条直线都叫做 在 的法线,0r0r它们都在法面内。经过切线的每一个平面都叫做 在 的切面。0r曲线的参数是可以改变的,对于任意曲线,一个自然的参数是它的弧长。在 上取任意固定点 P0 作为度量弧长的始点(相当于原点)并规定一个弧长增加的正向,则对于曲线上任意点 P,弧长 有一个代数值。设 P1 为 上另一个任意的固定点,则A0s1limP也可以写成 1lisPr或者9,即1)(21limsPr2dsr若在度量弧长始点 P0,参数 ,则0ttst)(r或即dtxt 02321这就是弧长 s 和 t 参数的关系。引进弧长作为参数, 是幺矢。用“.”表示对于弧长的微导,并用 表示幺矢 :sr αdsrdα于是 是沿 切线上的一个幺矢,称为 的幺切矢。§4 曲率曲线 在它上面的一点 P 处的曲率是表示它在 P 点邻近的弯曲程度的一个几何量。设 P0 为 上任意固定点,P 为 上在 P0 邻近的一点,它们依次对应于弧长参数值和 ,设 在 P0,P 的切线之间的角是 ,我们规定曲线 在 P0 的曲ss )0(率为rαdsssPlimlili000对于平面曲线2/3121/321)( dxxdxr§5 曲线论的基本公式.挠率由于切矢 是幺矢,对于弧长 s 微导,就得α0若在切点 P0,曲率 , 就沿一条法线的方向,这条法线叫做 在 P0 的主法线,而 与同向的幺矢αβ就叫做 在 P0 的主法矢。曲线上曲率 的点一般是孤立点,叫做曲线上的 逗留点。0在曲线 上一个非逗留点 P0,切矢 和主法矢 是两各互相垂直的幺矢,令αβ10βαγ就得到第三个幺矢,它也垂直于 ,叫做 在 P0 的副法矢 ,经过 P0 沿 方向的直线就叫αγ做 在 P0 的副法线。当切矢 的正向颠倒时,副法矢 的正向也颠倒,而主法矢 的正向 γβ始终不变。在曲线 上每一个非逗留点 P0,都有三个右旋的、彼此垂直的幺矢 ,α, ,叫做 在 P0 的基本矢。切线,主法线,副法线构成一个三稜形,叫做 基本三稜形,βγ它们决定三个彼此垂直的平面:和切线垂直的是法面,和主法线垂直的是从切面,和副法线垂直的是密切面。对于非平面曲线(也叫挠曲线) ,曲线在一点的密切面是经过该点和曲线“最贴近”的平面。, , 是彼此垂直的幺矢,任意矢量 都可以写成它们的线性组合αβγRγβαR)()(将 , , 写成它们的线性组合γγβαγβ)()(由于,122,0αβγ微导,就得0αβγγ若引进符号β则βγγα这叫做曲线论的基本公式(Frente 公式) 。曲线 在 P0 的挠率是衡量它在该点邻近偏离平面曲线(或密切面)的程度。γ挠率的几何意义:若 P0 为 上任意固定点,P 为 上在 P0 邻近的一点,它们依次对应于弧长参数值 和 , 是 在 P0,P 的副法线之间的角,则曲线0ss)(11在 P0 的挠率为γsPlim0 22)(,),(1),( rrβα曲线的曲率和挠率对于刚体变换都是不变量,这两个不变量一起,完全确定曲线的大小形状,仅仅不能确定曲线的位置,曲线的一切性质(包括它的一切不变量)都被这两个不变量完全决定,他们就叫做曲线的基本不变量。§6 简单的例1) 渐开线和基圆的一切切线正交,它是基圆的切线的一条“正交轨线” 。2) 对于圆柱螺线321)sin(coeerpadd]c[222)(rs假定 ,则0/dpad2])cossin([13212 eerαpas 2pa)sin(co21eβ])cos(i[3212 eαγ apa2p可以看出:a) 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。b) 挠率 和螺线的节 有相同的符号。当 时, ,螺线称为右旋的; 0p时, ,螺线称为左旋的。一般地,若一条曲线在一点的挠率 ,则它在该0p 0点邻近称为右旋的,它在那里的形状类似右旋螺线,反之, ,则成为左旋的。12c) 主法矢指向曲线凹入的一方。对于挠曲线,这也是一条普遍规律。圆柱螺线的主法线和螺线的轴垂直相交。d) 螺线的升角aptn§7 主法线的正向无论是平面曲线,还是挠曲线,在非逗留点( ) ,主法矢都指向曲线凹入的一侧。0§8 密切曲线若两条曲线 , 在一点 P0 相切,有共同的主法矢 (因而有共同的密切面) ,又*0β有共同的曲率 ,则它们称为在 P0 密切。若 , 在 P0 相切,而且曲率都是 0,0*它们也叫做在 P0 密切,例如一条曲线在一个逗留点就和它的切线密切。若平面曲线 , 在 P0 密切,则它们一般地在 P0 互相交叉,即一般地每条在经过*P0 时跨过另一条。§8 密切圆设 P0 是曲线 的一个非逗留点,即在 P0, 的曲率 。令001在 的主法线上,取 Z0 点,使 ,则在 的密切面上,以 Z0 为中心,以 为00βP0半径的圆在 P0 和 密切,称为 在 P0 的密切圆。当 时,密切圆实际上不存在,但0也可以说,密切圆退化成 在 P0 的切线。
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