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高考和自主招生物理力学模拟压轴题2.doc

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高考和自主招生物理力学模拟压轴题2.doc
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1、如图 4.1(a)、 (b) ,在质量 M=1kg 的木板上有质量 m=0.1kg 的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子,使雪橇以速度 v0=0.1m/s 运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数 μ=0.02。把住木板,起动马达。当雪橇达到速度 v0时,放开木板。在此瞬间,雪橇与木板端面的距离 L=0.5m。绳子拴在(a)远处的桩子,(b)木板的端面上。试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面?mML图 4.1(a) 图 4.1(b)解:(a)在第一种情形中(如图 4.1(a) ) ,雪橇处于匀速运动状态。雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为mg ,它作用在木板上,产生的加速度 ,直至木板达到雪橇的速度 v0为止。加速时间为Mmg=5.1svat00在这段时间内,雪橇的位移为 =0.255mmgMvaS200因此,雪橇离木板右端点的距离为 0.5m-0.255m=0.245m雪橇不能达到木板的一端,因为这段时间以后,木板与雪橇以相同的速度 v0一起运动。在木板加速期间,马达必须用力mg 牵引绳子,但以后马达不能施加力的作用,它只是卷绳子。(b)在第二种情形中(如图 4.1(b) ) ,木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个孤立系统,可以用动量守恒定律。当我们放开木板时,雪橇的动量为 mv0,释放后的木板具有速度 v2,它由下式决定:mv 0=M v 2+m(v 0+v 2)此式表明 v2=0,所以木板保持不动,雪橇以同一速度继续前进。雪橇达到木板右端的时间为 =5 s1.0vLt2、长 L 的光滑平台固定在地面上,平台中间放有小物体 A 和 B ,两者彼此接触。A 的表面是半径为 R(R<<L)的半圆形轨道,轨道顶端距台面的高度为 h 处有一小物体 C ,A、B、C 的质量均为 m 。在系统静止时释放 C ,已知在运动过程中 A、C始终保持接触。试求:(1)A 、B 刚分离时,B 的速度;(2)A、B 分离后,C 能到达的最大高度;(3)试判断 A 从平台的哪边落地,并估算 A 从 B 分离到落地所用的时间。解析:(1) (2)问常规,C 至最低点时 AB 分离,考查 C 下滑至最低点过程:解得 vAB =2AB2CCBA)m(1vgRm0)( 3gR考查 C“上爬”的过程,对 AC 系统:解得 H = R , C 距平台高度 h′= h-R + gv)(21v21()( C2ACABC 43H第(3)问物理思想较难:A 虽做变加速运动,但 AC 整体水平动量恒定,整体质心水平速度恒定,且为 vAC ;另据题意 R<<L ,故可认为滑下的位移 S ≈ …2L答案:(1) ;(2)H- ;(3)左边,L 。3gR4gR33、铁块相对车运动的总路程;2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。模型分析:本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用。由于过程比较复杂,动量分析还要辅助以动力学分析,综合程度较高。由于车与墙壁的作用时短促而激烈的,而铁块和车的作用是舒缓而柔和的,当两对作用同时发生时,通常处理成“让短时作用完毕后,长时作用才开始 ”(这样可以使问题简化) 。在此处,车与墙壁碰撞时,可以认为铁块与车的作用尚未发生,而是在车与墙作用完了之后,才开始与铁块作用。规定向右为正向,将矢量运算化为代数运算。车第一次碰墙后,车速变为-v ,然后与速度仍为 v 的铁块作用,动量守恒,作用完毕后,共同速度 v1 = = ,因方向为正,必朝墙运动。Mm)v(3车会不会达共同速度之前碰墙?动力学分析:车离墙的最大位移 S = ,反向加速a2v的位移 S′= ,其中 a = a1 = ,故 S′< S ,所以,车碰墙之前,必然已12vg和铁块达到共同速度 v1 。车第二次碰墙后,车速变为-v 1 ,然后与速度仍为 v1的铁块作用,动量守恒,作用完毕后,共同速度 v2 = = = ,因方向为正,必朝墙运动。Mm)v(312车第三次碰墙,……共同速度 v3 = = ,朝墙运动。23……以此类推,我们可以概括铁块和车的运动情况——铁块:匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……平板车:匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……显然,只要车和铁块还有共同速度,它们总是要碰墙,所以最后的稳定状态是:它们一起停在墙角(总的末动能为零) 。1、全程能量关系:对铁块和车系统,-ΔE k =ΔE 内 ,且,ΔE 内 = f 滑 S 相 ,即: (m + M)v 2 = μmg·S 相 代入数字得:S 相 = 5.4 m2、平板车向右运动时比较复杂,只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的,故第一次:S 1 = a2v第二次:S 2 = = av123第三次:S 3 = = 24……n 次碰墙的总路程是:ΣS = 2( S1 + S2 + S3 + … + Sn )= ( 1 + + + … + av2234相1n23)= ( 1 + + + … + )Mmgv22341相1n2碰墙次数 n→∞,代入其它数字,得:ΣS = 4.05 m4、边长为 a 、质量为 10m 的立方块置于倾斜角为 30°的固定斜面上。半径为 a/2 、质量为 m 的圆柱依次搁置成一排。物块与柱体、柱体之间、柱体与斜面均为光滑接触,但物块与斜面之间的摩擦系数 μ= 2 /3。试求:系统保持静止时,最多可依次放置多少个圆柱体?解析:参见右图,若考虑质心平衡,滑动临界状态,φ = φm= 43.3°。因N、G 过 O 点,全反力 R 要过 O 点,其作用点 Q 必在 A 之右(因为 43.3°<45° ) ,故可判断 ——立方块尚未转动!(这段论证的意义在于:N 逐渐增大时,方块是先滑后转,而非先转后滑,这点很重要)常规计算可得,此时 N = 3.165 mg ,合 6.33 个球的累积。(若常规计算转动临界条件,N = 3.66 mg ,合 7.32 个球体之累积)答案:6 个。 (商榷:此题是可以改成翻转趋势在前——φ m > 45°?)5、如图 9 所示,车站有列车编组用的驼峰。将需要编组的车厢用火车头推到驼峰顶上,让它以极小的初速度(可以视为零)开始沿斜坡下滑,到坡底时利用道岔组把它引导到规定的轨道上和其它车厢撞接,实现编组。图中两节车厢的质量均为 m,车轮与铁轨的动摩擦因数均为 μ,斜坡高为 h,从驼峰顶到斜坡底的水平距离为 s1,A 车厢从坡顶由静止下滑,B 车厢原来静止在坡底处,两车撞接后不再分开(两车厢的长度都可以忽略不计)。试求:(1)A 车厢到达坡底时的动能 EK ;(2)两车撞接瞬间的动能损失 ΔE K ;(3)两车撞接后,共同滑行的最大距离 s 。解析:解:(1)A 下滑过程用动能定理,设倾角为 θ,则:(2)A、B 碰撞过程系统动量守恒设碰前 A 的速度为 v,则:,(3)A、B 共同滑行过对系统用动能定理:。6、 质量为 m ,自然长度为 2πa ,弹性系数为 k 的弹性圈,水平置于半径为 R 的固定刚性球上,不计摩擦。而且 a = R/2 。 (1)设平衡时圈长为 2πb ,且 b = a ,试求 k 值;(2)若 k = ,求弹性圈的平衡位置及长度。2 R2mg解析:(1)参看图 6 ,将圈分成 n 段,且令 n → ∞ ,每小段对应圆心角 θ,θ→ 0 ,对于这一小段,受力 = 0 xF即 Gtgφ= 2Tsin 2而 G= m′g = m·g计算时应用极限 = 1xsinl0(2)设长度 2πb′,代入第(1)问的一般关系可得b′= R答案:(1) ;(2)不能在球上平衡。mg2相7、如图 4-7-6 所示,用一弹簧把两物块 A 和 B 连接起来后,置于水平地面上。已知A 和 B 的质量分别为 1和 2。问应给物块 A 上加多大的压力 F,才可能在撤去力 F 后,A 向上跳起后会出现 B 对地无压力的情况?弹簧的质量略去不计。设弹簧原长为 0l,建立如图 4-7-7 所示的坐标,以 k 表示弹簧的劲度系数,则有 1kxgm ①取图中 O 点处为重力势能零点,当 A 受力 F 由 O 点再被压缩了 x 时,系统的机械能为 )()(20201 glmEx ② 撤去 F 当 A 上升到最高处即弹簧较其自然 ABOFx00lx0 BA图 4-7-7AB图 4-7-6长度再伸长 x时,系统的机械能为 )(21)(0201 glmxkgmEx ③ A 在 x 处时,其受力满足01F,以①式的 kx代入上式,乃有④当 F 撤去 A 上升到 0处时,弹簧的弹力大小为 xk,设此时 B 受到地面的支持力为 N,则对于 B 应有 2gmxk要 B 对地无压力,即 N=0,则上式变为 ⑤因为 A 由 x 处上升至 x0处的过程中,对此系统无外力和耗散力作功,则其机械能守恒,即 xE= ⑥联立解②~⑥式,可得 gmF21。显然,要出现 B 对地无压力的情况,应为 F≥( gm)21。当 F=()21时,刚好能出现 B 对地无压力的情况,但 B 不会离开地面;当 F>(时,B 将出现离开地面向上跳起的情况。8、均质轮轴重量为 P ,半径为 R ,轮轴上轮毂半径为 r,在轮毂上缠绕轻质绳经过定滑轮系以重物,各处摩擦系数均为 μ,α 角已知,试求平衡时重物的最大重量 W 。解析:参见右图,张力 T 过 Q 点之上,轮必右滚;T 张力过 Q 点,无转动趋势,M 点无作用,即可三力共点(引入 Q 点接触反力)解;T 过 Q 点之下,轮有逆时针转动趋势,以 O 为轴,f R + f ′R = Tr ①ΣFy = 0 ,即 f + Tcosα + = P ②fΣFx = 0 ,即 f ′= + Tsinα ③解①②③式即可。答案:若 sinα > ,W = 0 ;若 sinα = ,W = ;若 sinα Rr Rr sincoP< ,W = 。Rrr)1()sin(co)sin(coP222 相相9、轻绳的一端连接于天花板上A 点,绳上距 A 点为 a 处系有一个质量为 m 的质点 B ,绳的另一端跨过C 处的定滑轮(滑轮的质量可以忽略,C 与 A 在同一水平线上) 。某人握住绳的自由端,以恒定的速率 v 收绳。当绳收至图示位置时(B 两边的绳与水平线夹角分别为 α 和 β) ,求右边绳子的张力。解析:本题考查圆周运动动力学 。参见下图,为求法向加速度 an1 和 an2 ,先看切向速度 vτ1 = = ,v τ2 = vtgθ = vctg(α+β) ,即有 an1 = ,a n2 = cos)in( v21。b2左边动力学方程:T 1 - mgsinα- T2cos(α+β)= m a n1 ①左边动力学方程:T 2 - mgsinβ- T1cos(α+β)= m a n2 ②约束方程: = sinaib解①②,经艰苦化简后,得 T2 的表达式…答案: mg + )si(coamvsin)co(1)(sico24 10、树上有一只松鼠,远处一猎人瞄准它射击,松鼠看见枪口的火光后立即(自由)下落,试求当子弹的初速度满足什么条件时,总能击中松鼠。解析:参见右图,令树高 h ,与人的水平距离为 l 。将斜抛位移 分解为 t 与 t2 的合成S0v1g显然 v0t = , gt2 < h2hl答案:速度 v0 > (其中 h 为树)l(g高,l 为人与树之水平距离) 。11、质量M=0.2kg 的小球静置于垂直柱上,柱高h=5m。一粒质量m=0.01kg、以速度 0=500m/s 飞行的子弹水平地穿过球心。球落在距离柱 s=20m 的地面上。问子弹落在地面何处?子弹动能中有多少转换为热能?解:在所有碰撞情况下,系统的总动量均保持不变: MVmv0其中 v 和 V 分别是碰撞后子弹的速度和小球的速 度. 两者的飞行时间都是 s01.2ght球在这段时间沿水平方向走过 20m 的距离,故它在水平方向的速度为:(m/s)8.190.2V由方程 0.01×500=0.01v+0.2×19.8可求出子弹在碰撞后的速度为:v=104m/s子弹也在 1.01s 后落地,故它落在与柱的水平距离为 S=vt=104×1.01=105m的地面上。碰撞前子弹的初始动能为 1250 J201mv 1,3,5球在刚碰撞后的动能为 39.2 J21MV子弹在刚碰撞后的动能为 54 Jmv与初始动能相比,两者之差为 1250 J-93.2 J=1156.8 J这表明原来动能的 92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在完全弹性碰撞的情形下,动能是守恒的。而如果是完全非弹性碰撞,子弹将留在球内12、右图的力学系统由三辆车组成,质量分别为 mA=0.3kg,m B=0.2kg,m C=1.5kg。(a)沿水平方向作用于 C 车的力 F 很大。使 A、B 两车相对 C 车保持静止。求力 F 及绳子的张力。(b)C 车静止,求 A、B 两车的加速度及绳子的张力。(忽略阻力和摩擦力,忽略滑轮和车轮的转动惯量)解:(a)A、B 两车相对 C 车保持静止,A 车在竖直方向没有加速度,因此它对绳的拉力为 mAg。这个力使 B 车得到加速度 。又三车系统以相同的加速度运动,gmaBA则: gFBACBA)(由给定的数值得:a B=a C=a A=1.5g=14.7m/s 2绳中的张力为:T=m Ag=2.94N水平推力为:F=29.4N(b)如果 C 车静止,则力 mAg 使质量 mA+m B加速,加速度为:=0.6g=5.88NBABa绳中的张力为:T /=m Ag-m A×0.6g=1.176N13、四个半径相同的均质球放在光滑的水平面上,堆成锥形,下面三个球用细绳捆住,绳子与这三个求的球心共面。已知各球均重 P ,试求绳子的张力。解析:连接四球体的球心,得图 8 所示的正四面形(三维图) ,并可求得AF1,3,5tgθ= = 32r)()相 2再参见图 9(竖直平面图) ,可得上球对下球的压力的水平分量 N′= ctgθ= 3PP62最后参见图 10(水平平面图) ,有 T = N′3答案: P 。18614、质量为 m 的圆形槽,内外半径几乎同为 R ,槽内 A、B 两处分别放有质量同为 m 的小球,不计一切摩擦。现将系统置于光滑水平面上,开始系统静止,现令两球同时具有垂直 AB 方向的初速度 v ,试求此后两球第一次相距为 R 时,槽中心的速度 V 。解析:设 v 相 后(见右图) ,列能量和动量方程   )V30tgv(m2V2 )t(11my2y2相相得 V = v150但当取“+”时,v 相 x<0(意义为 A、B 相碰后返回时对应速度) ,不合题意。答案:V = v15:三个钢球 A、B、C 由轻质的长为 l的硬杆连接,竖立在水平面上,如图 4-10-5所示。已知三球质量 m2, cB,距离杆la825处有一面竖直墙。因受微小扰动,两杆分别向两边滑动,使 B 球竖直位置下降。致使 C 球与墙面发生碰撞。设 C 球与墙面碰撞前后其速度大小不变,且所有摩擦不计,各球的直径都比 l小很多,求 B 球落地瞬间三球的速度大小。解: (1)球碰墙前三球的位置视 A、B、C 三者为一系统,A 、C 在水平面上滑动时,只要 C 不与墙面相碰,则此系统不受水平外力作用,此系统质心的水平坐标不发生变化。以图 4-10-6 表示 C 球刚好要碰墙前三球的位置,以 a表示此时 BC 杆与水平面间的夹角,则 AB 杆与水平面间的夹角也为 ,并令 BA 杆上的 M 点与系统质心的水平坐标相同,则应有 aBCmaaAmBcoscoscos故 得 ①由上述知 M 点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同,故知此刻 M点与右侧墙面的距离即为 a,即 M 点与 C 球的水平距离为 a,由此有BCacoscs,即 lll8254。由上式解得cs,故有 45a ②(2)求三球碰墙前的速度由于碰墙前 M 点的水平坐标不变,则在 A、C 沿水平面滑动过程中的任何时刻,由于图中的几何约束,C 点与 M 点的水平距离总等于 A 点与 M 点的水平距离的 35倍,可见任何时刻 C 点的水平速度大小总为 A 点水平速度大小的 35倍。以 Av、 B、 C分别表示图 5-2-2 中三球的速度,则有Av35③又设 B沿 BC 方向的分量为 BCv,则由于 Bv和 C分别为杆 BC 两端的小球速度,则此两小球速度沿着杆方向的投影应该相等,即 avCcos。再设 B沿 BA 方向的分量为 BA,同上道理可得A注意到 BA 与 BC 两个方向刚好互相垂直,故得 Bv的大小为avvvACBCBcos22ABCvBvv图 4-10-741l以②③两式带入上式,乃得 ABv917④由于系统与图 5-2-1 状态到图 5-2-2 状态的机械能守恒,乃有 22211sinCBAB vmvmalglm。以①~④式代入上式。解方程知可得 lvA)2(103⑤(3)求 C 球在刚碰墙后三球的速度如图 4-10-8 所示,由于 C 球与墙碰撞,导致 C 球的速度反向而大小不变,由于杆 BC 对碰撞作用力的传递,使 B 球的速度也随之变化,这一变化的结果是:B 球速度沿 CB 方向的分量 BCv与 C 球速度沿CB 方向的分量相等,即 avvCCcoss⑥由于 BC 杆只能传递沿其杆身方向的力,故 B 球在垂直于杆身方向(即 BA 方向)的速度不因碰撞而发生变化,A 球的速度也不因碰撞而发生变化,即其仍为 Av。故得此时B 球速度沿 BA 方向的分量 BAv满足16、均质半圆形金属拱架 ACB ,圆心在 O 点,质量 M = 1000kg ,A 端与地面的铰链相连,B 端搁在滚珠上。现有一质量 m = 500kg 的物体从顶点 C 无摩擦滑下,当它滑到 D 点时(已知∠COD = 30°) ,试求 A、B 两处对拱架的作用力。解析:C→D 过程能量守恒 m = mgR(1-cos30°)21Dv在 D 位置动力学方程 mg cos30°-N D = m Rv2从这两式可以解得:N D = mg243对拱架,以 A 为转轴 ΣM = 0(注意 B 处只能提供竖直向上的作用力) ,即——NB2R = MgR + NDRcos cos30°,这样 NB 就解决了。解 NA 还得对拱架用 ΣF x = 0 和 ΣF y = 0 ,即——NAx = NDx = NDsin30°= … ≈ 1495NNAy = Mg + NDy-N B = … ≈ 6295N最后 NA = ,N A 和竖直方向夹角 θ = arctg 。2yx AyxNABCvCvA图 4-10-8答案:A 处的作用力大小大小约 6470N ,方向竖直偏右 13.4°斜向上;B 处作用力大小约 6295N ,方向竖直向上。17、N 个相同的、质量均为 m 的小滑块排成一行,静止在光滑水平面上,个滑块之间有间距。现有一质量为 M(M>m)的大滑块以速度 u 从左方沿 N 个小滑快连线的方向射向小滑快,若 M 与 m 、m 与 m 之间的碰撞都是完全弹性的,试求所有滑块的最终速度。解析:M 与 m 第一碰后 u1 = u ,v 1 = u ,但 v1 将最终“传递”到最右端第M2一块上,而其它各 m 块则静止;故有——M 与 m 第二碰后 u2 = ( )2u ,v 2 = u ,但 v2 将2相相最终“传递”到最右端第二块上(赶不上第一块) ,而第三块、第三块之左的各 m 块则静止;故有 ——M 与 m 第三碰后 u3 = ( )3u ,v 3 = u ,但 v3 将最终“传递”到mM32M)2相相最右端第三块上(赶不上第二块) ,而第四块、第四块之左的各 m 块则静止;故有——……答案:大滑块的最终速度为( )Nu ;右起第 n(n≤N)个小滑块的最终速度为u 。n1mM)2相相18、顶杆 AB 可在竖直滑槽 K 内滑动,其下端由凸轮推动,凸轮绕 O 轴以匀角速度ω 转动,在图示的瞬间,OA = r ,凸轮上橼与 A 点接触处法线 n 与 OA 之间的夹角为α,试求此时顶杆 AB 的速度。解析:牛顿第二定律是相对惯性系的定律!m2 相对非惯性系 m1 有加速度 (向上) ,m 1 相对惯性系 O 有加速度 (向上) ,20lv 120lv故 m2 相对惯性系 O 有加速度——a 绝 = a 相 + a 牵 = + 20lv1答案:m 2g + m2( + ) 。0l119、两根长度均为 L 的刚性轻杆,一端通过质量为 m 的球形铰链连接,另一端分别接质量为 m 和 2m 的小球。将此装置合拢,铰链在上地竖直放在水平桌面上,然后轻轻扰动一下,使两球左右滑动,但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦,试求:(1)铰链碰到桌面前一瞬间的速度;(2)两杆夹角 90°时,右球的速度;(3)两杆夹角 90°时,右球的位移。解析:设三物的绝对速度、杆的一般方位角如右图。又鉴于两球相对铰链必有大小相等的相对速度(设为 v) ,故有:v1 = v + vx ,v 2 = v - vx ①ΣP x = 0 ,即 m(-v 1) + m(-v x) + 2mv2 = 0 ②ΣE = C ,即 mgL(1-sinθ) = m + m( + ) + 2m ③21v2xyv12v约束方程(杆不可伸长)v 2cosθ = vysinθ - vxcosθ ④解①②③④可得 vx = ,v y = , v1 = 5vx ,v 2 = 3vx ctg8)sin(L2tg14)sin(L8代入相应的角度解(1) (2)两问。第(3)问可以直接根据系统质心无水平位移求得。答案:(1) (竖直向下) ;(2) ;(3) L 。gL220)(gL38220、质量为 M 、程度为 L 的木板固定在光滑水平面上,另一个质量为 m 的滑块以水平初速 v0冲上木板,恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定(但无初速) ,让相同的滑块再次冲上木板,要求它仍能从另一端滑下,其初速度应为多少?解:由第一过程,得滑动摩擦力 f = 。2mv0第二过程应综合动量和能量关系(“恰滑下”的临界是:滑块达木板的另一端,和木板具有共同速度,设为 v ) ,设新的初速度为 0m =( m + M )v0m - ( m + M )v 2 = fL21解以上三式即可。答: = v0 。0vMm21、质量为 m 的两个重球 A 和 B 由刚性轻杆连接,竖直立在光滑水平面上。现若对 B 施以轻微扰动,使系统逆时针翻倒。试求 B 端所受地面支承力 N 和杆的方位角 θ的关系。解析:这是一个综合动力学途径、动量能量途径解题的复杂事例。设相关参量如右图。动量关系:mvB + m(-v x) = 0 ①能量关系:mgL(1-sinθ) = m( + ) + m ②21xv2y12Bv约束方程:v Bcosθ = vysinθ - vxcosθ ③解①②③得 vx = vB = ,v y = 22ctg1)sin(L2tg)sin1(L以 B 为参照(非惯性系) ,A 做圆周运动,动力学方程为:T + mgsinθ + F*cosθ = m ④L)sinvco2xy相相为求惯性力 F* ,隔离 B ,得 a = ,故 F* = ma = TcosθT而且 vy 相 = vy ,v x 相 = vx + vB = 2vx ,它们代入④式后,得——T = mg23)cos1(in64最后看 B 球,ΣF y = 0 ,即可求得 N 。答案: mg 。23)cs(iin22、如图 7 所示,一个质量为 M ,半径为R 的光滑均质半球,静置于光滑水平桌面上,在球顶有一个质量为 m 的质点,由静止开始沿球面下滑。求:质点离开球面以前的轨迹。解说:质点下滑,半球后退,这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似,仔细分析,由于同样满足水平方向动量守恒,故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移(位置)的问题,竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。为寻求轨迹方程,我们需要建立一个坐标:以半球球心 O 为原点,沿质点滑下一侧的水平轴为 x 坐标、竖直轴为 y 坐标。由于质点相对半球总是做圆周运动的(离开球面前) ,有必要引入相对运动中半球球心 O′的方位角 θ 来表达质点的瞬时位置,如图 8 所示。由“定式” ,易得:x = Rsinθ ①mM而由图知:y = Rcosθ ②不难看出,①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质,我们可以将参数 θ 消掉,使它们成为:+ = 12)Rm(xy质点的轨迹是一个长、短半轴分别为 R 和 R 的椭圆mM练习题1、A 是放在光滑水平面上的滑块,其质量为 M,滑块的上端面是一水平台面,台面的长度和高度皆为 h,滑块的侧面有一条长度为 圆周的圆弧形滑槽,槽底与水平面相切,81另有一高度为 H 的固定光滑导轨,导轨底端正好对准 A 的滑槽,B 是一个质量为 m 的小球,它由导轨的顶端滑下,初速为零,试求欲使小球撞击到 A 的平台,高度比 H/h 的范围是多少?( )mhM452312、一个质量为 m 的小球由静止开始沿质量为 M 的小车上的 圆弧下滑,忽略一切摩41擦,求小球处于如图 位置时车对球的支持力。mM3、水平地面上整齐堆放着三个质量分布均匀,长度相等,半径为r 的光滑圆柱体,设三个圆柱体的质量分别为,若从图示位置释放,求 A 落地时的速mmCBA22度?4、如图定滑轮 A 的一侧挂有 的物体,另一侧挂有轻滑轮 B,滑轮 B 的两侧5kg1挂着 , 的物体,求每个物体的加速度。3kg2235、一质点自倾斜角 之斜面上方某高度之固定点 O 由静止起沿一光滑直线沟槽 OP 下α滑到斜面上之 P 点,请问当 直线与铅直线 OB 夹角 为若干时,可使质点沿 下βOP滑之时间为最短。【答案】 =β26、如图所示,一串相同汽车以等速 v 沿宽度为 c 的直线公路行驶,每车宽均为 b,头尾间距均为 a,则人能以最小速率沿一直线穿过马AB CAB 1m32路所用时间为 。t= νab)+(c27、竖直墙壁、水平地面均光滑,斜面与球的摩擦不计。已知斜面倾角为 θ,质量为 M ,球的质量为 m ,系统从静止开始释放。试求斜面的加速度大小。()gsincomg8、 宇 宙 间 某 一 惯 性 参 照 系 中 , 有 两 个 可 视 为 质 点 的 天 体 A 和 B, 质 量 分 别 为 m 和 M,相 距 L0。 开 始 时 A 静 止 , B 具 有 沿 A、 B 连 线 延 伸 方 向 的 初 速 度 v0。 B 由 于 受 到 A、 B系 统 之 外 的 力 F 作 用 而 做 匀 速 运 动 , 试 求 :(1)A、B 间最远距离为多少? A、B 间有最远距离应满足什么条件? (2)从开始到 A、B 相距最远的过程中,力 F 做的功是多少?9、一人手持质量为 m 的小球坐在热气球的吊篮里,气球、吊篮和人的总质量为 M,气球以速度 匀速上升,人突然将小球向上抛出,经过时间 后小球又返回人手,若人0v 0t手抛、接小球时相对吊篮的位置不变,试求:(1)抛球过程中人做的功(2)抛球者看到小球上升的最大高度10、一小物体以 之水平速度沿光滑水平地面滑行,0ν然后滑上一光滑曲面上升 h 高至一平台,并由台边缘水平飞出,又落回地面,其水平射程 S,如图所示,则当 h 为多少时可使水平射程 S 最大,最大值若干?(h= ; )g4ν20ν=20MAX11、如图所示,B是质量为m B、半径为R 的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上。A是质为m A的细长直杆,被固定的光滑套管C 约束在竖直方向,A 可自由上下运动。碗和杆的质量关系为:m B=2m A。初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)。然后从静止开始释放A,A、B便开始运动。设A杆的位置用 表示, 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A 与B速度的大小(表示成 的函数)。12、一质量为 m= 的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动,其高度kg102.4h=100km,为使飞船落到月球表面,喷气发动机在 P 点作一次短时间发动,从喷口喷出的热气流相对于飞船的速度为 u=10000km/s.月球半径为 R=1700km,月球表面的落体加速度 ,飞船可用两种不同的方式到达月球2s/7m.1g(1)向前喷射,使飞船到达月球的背面的 A 点,并相切,A 点与 P 点相对。(2)向外侧喷射,使飞船得到一指向月球中心的速度,其轨道与月球表面 B 点相切试计算上述两种情况下所需要的燃料能量。13、如图所示,一半径为 R 的圆柱体在两块水平板之间转动,板条以速度 和 向同一个方向平移, ,平板与圆柱体之间无相1ν21ν2对滑动,则圆柱体转动的角速度 = 。ωR-2114、如图所示,两个小球 1 和 2 先后从高为H 的地方水平抛出,1 球直接越过高为 H 的挡板 BC 的顶端 C 落到水平地面上的 D 点,2 球则在 E 处与光滑地面弹性碰撞一次之后再经过 C 点落到 D 点,求挡板的高度?15、如图,长度为 L 轻杆上端连着一个质量为 m 的体积可忽略的的小重物 B。杆的下端被用铰链固定于水平面上的 A 点,同时,置于同一水平面上的立方体 C 恰与 B 接触,立方体 C 的质量为 M,令作微小扰动,使杆向右倾倒,设 B 与 C、C 与水平地面间均没有摩擦,而 B 与 C 刚脱离的瞬间,杆与地面的夹角恰好为 ,求 B 与 C 的质量之06BCA DEA O PPOB比?16、质量为 m 的宇宙飞船绕地球中心 O 作圆周运动,已知地球半径为 R,飞船轨道半径为 2R,现要将飞船转移到另一个半径为 4R 的新轨道上。(1)求转移所需要的最小能量,(2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的,如图中的 ACB 所示,则飞船在两条轨道的交接处 A 和 B 的速度变化 和 各是多少?AvB17、质量为 m 的小滑块用弹簧连接到 P 点,弹簧松弛时的长度可忽略,弹簧的弹性系数为 k,P 点的位置可在直径 AB 上调节,但一次调节好后固定,滑块能够再半径为R,位于竖直面内的圆环外表面上无摩擦地自由运动,令 ,如果滑块从圆环顶dPO端 A 从静止状态开始下滑,而且当它通过最低点 B 时,即将与圆环脱离接触,求 d ( )dg5118、有一个摆长为 l 的摆 (摆球可视为质点,摆线的质量不计) ,在过悬挂点的竖 直线上距悬挂点 O 的距离为x 处(x<l)的 C 点有一固 定的钉子,如图所示,当摆摆动时,摆线会受到钉子的 阻挡.当 l 一定而 x 取不同值时,阻挡后摆球的运动情 况将不同.现将摆拉到位于4R2RA BCOACB竖直线的左方(摆球的高度不超过 O 点) ,然后放手,令其自由摆动,如果摆线被钉子阻挡后,摆球恰巧能够击中钉子,试求 x 的最小值.
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