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第三课时 导数构造函数-练习.doc

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1利用导数构造函数回顾(1)[f(x)±g(x)]′=__________ ; (2)[f(x)g(x)]′=______________ ;(3) ′=______________ [g(x)≠0].[fxgx]构造函数1.对于 ,构造xf''xfh更一般地,遇到 ,即导函数大于某种非零常数(若 a=0,则无需构造) ,则可构0'afxfxh2.对于 ,构造''gxgfxh3.对于 ,构造0'xfe4.对于 [或 ],构造' 0'xfxefh5.对于 ,构造'xf fh6.对于 ,构造0'x变式 1.设 )(xf是定义在 R上的可导函数,且满足 0)('xff.则不等式)1(2f的解集为 变式 2.已知函数 )(xf是定义在 R 上的奇函数, 0)1(f, 0)(2xff )( ,则不等式0)(fx的解集是 .变式 3. 已知函数 是定义在 上的奇函数, ,当 时,有 成立,则()fx(2)0fx2'()0fxf不等式 的解集是 .02变式 4. 设奇函数 定义在 上,其导函数为 ,且 ,当 时,()fx),0(,(()fx()02fx,则关于 的不等式 的解集为 ()sincosf x()2sin6f变式 5.定义在 上的函数 满足: , , 是 的导函数,则不等R()fx()1()fxf0f()fxf式(其中 为自然对数的底数)的解集为 . ()5xxefe变式 6.已知函数 ( x )满足 =2,且 在 R 上的导数 ,则不等式)(fR)1(f)(xf 1)(xf的解集为.12)(xf变式 8.已知函数 .若 a ,对任意 ,且 ,都有()1ln(fxaxR)012,(0,]x12x,求实数 a 的取值范围.1212|()|4|fxf例.已知函数 f(x)=alnx + x2+(a+1) x+1.若 a>0,且对任意 x1,x 2∈(0 ,+∞),x 1≠x 2,都有| f(x1)12-f(x 2)|>2| x 1-x 2|,求实数 a 的最小值.3构造函数法证明不等式的六种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法:回顾:不等式的恒成立问题和存在性问题一 作差法构造函数证明【例 2】已知函数 求证:在区间 上,函数 的图象在函数 的.ln21)(xxf),1()(xf 32)(xg图象的下方;分析:函数 的图象在函数 的图象的下方 问题,f)(ggf不 等 式【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数) ,并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式。读者也可以设 做一做,深刻体会其中的思想方法。)()(xgfxF4二、换元法构造函数证明【例 3】 (2007 年,山东卷)证明:对任意的正整数 n,不等式 都成立.321)1l(n分析:本题是山东卷的第(II)问,从所证结构出发,只需令 ,则问题转化为:当 时,恒x0x有 成立,现构造函数 ,求导即可达到证明。32)1ln(xx )1l()(23xh【警示启迪】我们知道,当 在 上单调递增,则 时,有 .如果 =()Fx[,]abxa()Fxa()f,要证明当 时, ,那么,只要令 = - ,就可以利用 的单()axaf()FfFx调增性来推导.也就是说,在 可导的前提下,只要证明 0即可.()x'x三、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x - 恒成立,且常数 a, b 满足 ab,求证:)(xf )(f)(xf. a b)(f【解】由已知 x + 0 ∴构造函数 ,f)( )(xfF则 x + 0, 从而 在 R 上为增函数。)('Ff∴ 即 a bba)(b)(ff5【警示启迪】由条件移项后 ,容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数 ,)(xff )(xfF求导即可完成证明。若题目中的条件改为 ,则移项后 ,要想到)(xff )(fxf是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。四、构造二阶导数函数证明导数的单调性例.已知函数 21()xfae(1)若 f(x)在 R 上为增函
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