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第五章不等式.ppt

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1,第五章 不等式,§1 不等式(组)的概念及性质 §2 不等式(组)的同解性 §3 解不等式(★) §4* 不等式的证明(★) §5* 几个重要不等式(★) §6 不等式的应用(★),2,1.学习目的与要求:熟练掌握不等式的解法掌握证明不等式的常用方法与技巧,能运用不等式的知识解决一些数学问题. 2. 学习重点:不等式的解法,证明不等式的常用方法,几个重要不等式,运用不等式的知识解决一些数学问题等内容是教学的重点.不等式证明的 技巧、不等式知识的灵活应用是教学的难点.,3,一、不等式的概念,§5.1 不等式的概念及其性质,二、不等式组的概念,4,三、不等式的分类,代数不等式,初等超越不等式,有理不等式,无理不等式,整式不等式,分式不等式,二次,高次,指数不等式,对数不等式,,,,一次,,,5,§5.1 不等式的概念及其性质,四、不等式的性质(1)若 则 反之,若 则 (对逆性)(2)若 ,则 (传递性),6,(3)若 则 (加法单调性)(4)若 则 若 则 (乘法单调性)(5)若 则 (相加法则),7,(6)若 则 (相乘法则)(7)若 (倒数法则)(8)设 若 整数 则 (乘方法则) (9)设 若 整数 则 (开方法则) (10)|a|-|b|≤|a±b| ≤|a|+|b|,8,§5.2 不等式(组)的同解性,同解不等式:,如果两个不等式的解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式。,不等式的同解变形:,一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做不等式的同解变形。,如:2x+60与x-3,不等式的同解定理(略),9,§5.3 解不等式(组),1.一元二次不等式的解法:,10,一元二次不等式的解集与一元二次方程以及二次函数的图象的关系:,,有两异根 x1x2,有两重根 x1=x2=,无实根,xx2,x1xx2,R,Ø,Ø,,,,,,,,11,§5.3 解不等式(组),例1:解关于x的不等式,2.一元高次不等式的解法——“穿针引线法”,12,3.数形结合解不等式,P245.例10:,§5.3 解不等式(组),13,4.绝对值不等式的解法,例2.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5,方法一:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,将数轴分为三个区间,然后在这三个区间上将原不等式分别化为不含绝对值符号的不等式求解.体现了分类讨论的思想. 解:分三种情形求解 ①x1.(略),14,4.绝对值不等式的解法,例2.试解不等式|x-1|+|x+2|≥5,方法二:利用绝对值的几何意义,体现了数形结合的思想.,,解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2,所以原不等式的解为,§5.3 解不等式(组),15,链接高考:,1.(2009广东)不等式,的实数解为 .,【解析】,§5.3 解不等式(组),A,16,课堂练习,17,还有没有其他方法?,18,§5.4 不等式的证明,1.比较法 2.分析法 3.综合法 4.换元法 5.反证法 6.放缩法 7.数学归纳法 8.构造法 ……,19,1、比较法,比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。,两种形式,①作差法: ②作商法:,几点说明,①比较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断; ②作差法证题时, 通常是进行因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断; ③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等式时常用比商法。,§5.4 不等式的证明,20,§5.4 不等式的证明,2、分析法,从求证的不等式出发,层层推出使这个不等式成立的充分条件,直到得到一个明显成立的不等式或一个比较容易证明的不等式为止,这种证明方法叫做分析法。,分析法的证题思路是执果索因。,3、综合法利用已知条件或某些已证明过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式,这种证明方法称为综合法。,综合法的证题思路是由因导果,也就是从已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直接推导出所要证的不等式。,21,§5.4 不等式的证明,证法一:,比 较 法,22,§5.4 不等式的证明,证法二:,综合 法,23,§5.4 不等式的证明,24,§5.4 不等式的证明,4.换元法:结构较为复杂、量与量之间关系不很明显的命题,通过恰当引入新变量,代换原题中的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式。用换元法时一
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