• / 40
  • 下载费用:10 金币  

第十一章 常数项级数审敛法.ppt

关 键 词:
第十一章 常数项级数审敛法.ppt
资源描述:
,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十一章,常数项级数审敛法,在研究级数时,中心问题是判定级数的敛散性,如果级数是收敛的,就可以对它进行某些运算,并设法求出它的和或和的近似值, 但是除了少数几个特殊的级数,在一般情况下,直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的,因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行,这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性,这些方法称为审敛法.,对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,,,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,,∴部分和数列,有界,,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,,收敛 ,,也收敛.,都有,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,收敛 ,,也收敛 ;,发散 ,,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,,是两个正项级数,,(常数 k 0 ),,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,,故不妨,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,,收敛,,弱级数,解,由图可知,,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,比较审敛法是一基本方法,虽然有用,但应用起来却有许多不便,因为它需要建立定理所要求的不等式,而这种不等式常常不易建立,为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法,证明,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =∞,证: 据极限定义,,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l ∞ 时,,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = ∞时,,即,由定理2可知, 若,发散 ,,(1) 当0 l ∞时,,(2) 当l = 0时,,由定理2 知,收敛 ,,若,,是两个正项级数,,(1) 当 时,,两个级数同时收敛或发散 ;,2) 特别取,可得如下结论 :,对正项级数,(2) 当 且 收敛时,,(3) 当 且 发散时,,也收敛 ;,也发散 .,,,,注:,1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,例5,解,而,对,由检比法得,收敛,故由比较审敛法知,收敛,例6,解,由检比法得,级数收敛,级数发散,检比法失效,但,即后项大于前项,故级数发散,证明,取,则,收敛,收敛,发散,不能判定,如,都有,发散,级数收敛.,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,证:,是单调递增有界数列,,又,故级数收敛于S, 且,故,收敛,收敛,,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散,,收敛 ,,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 :,绝对收敛 ;,则称原级,数,条件收敛 .,则称原级,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,,收敛,,也收敛,且,收敛 ,,令,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,,收敛,因此,绝对收敛 .,(2) 令,因此,收敛,,绝对收敛.,小结,注意,一般而言,由 发散,并不能推出,发散,如,发散,但 收敛,如果 发散是由检比法和检根法而审定,则 必定发散,这是因为检比法与检根法,审定级数发散的原因是通项不趋向于0,备用题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,,故原级数发散 .,不是 p–级数,,(2),发散 ,,故原级数发散 .,,四、小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如:,收敛,,发散.,练 习 题,练习题答案,
展开阅读全文
  微传网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:第十一章 常数项级数审敛法.ppt
链接地址:https://www.weizhuannet.com/p-8800300.html
微传网是一个办公文档、学习资料下载的在线文档分享平台!

微传网博客

网站资源均来自网络,如有侵权,请联系客服删除!

 网站客服QQ:80879498  会员QQ群:727456886

copyright@ 2018-2028 微传网络工作室版权所有

     经营许可证编号:冀ICP备18006529号-1 ,公安局备案号:13028102000124

收起
展开