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量子力学微扰理论.ppt

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1,量子力学 第五章 微扰理论,缪 灵 miaoling@hust.edu.cn,2,可解析求解模型,3,一、近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解(解析解)出发,来求解复杂问题的近似(解析)解。,二、近似解问题分为两类,1、体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题,(1)定态微扰论;(2)变分法。,2、体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题,(1)与时间 t 有关的微扰理论;(2)常微扰。,4,,§1 非简并定态微扰理论,§2 简并微扰理论及其应用,§3 变分法与氦原子基态,5,平衡态附近的泰勒展开,6,§1 非简并定态微扰理论,一、微扰体系的Schrödinger方程,其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解的,其本征值En(0) ,本征矢 Ψn(0) 。则:,7,当 H ≠ 0 时引入微扰,使体系能级发生移动,由 En(0) → En ,状态由ψn(0)→ψn 。,8,微扰体系的定态Schrödinger方程,为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:,其中λ是很小的实数,表征微扰程度的参量。,因为 En 、 ψn 都与微扰有关,可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数:,其中En(0), λEn(1), λ2 En(2), . 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。,而ψn(0) , λψn(1) , λ2 ψn(2) , .分别是状态矢量 0 级近似、1级近似和2级近似等。,9,,乘开得:,代入Schrödinger方程得:,10,根据等式两边λ同幂次的系数应该相等:,整理后得:,体系的能量和态矢为,11,二、非简并定态的微扰近似,1、态矢和能量的一级近似,(1)能量一级修正En (1),左乘 ψn(0) |,利用本征基矢的正交归一性:,其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值,12,二、非简并定态的微扰近似,左乘 ψm(0) |,(2)态矢的一级修正ψn(1),13,14,注意,(2)态矢的一级修正ψn(1),15,能量高阶近似,方程左乘态矢  ψn(0) |,,,,16,低级微扰近似结果,17,三、微扰理论适用条件,18,微扰适用条件表明:,(2)|En(0) – Em(0)| 要大,即能级间距要宽。,例如:在库仑场中,体系能量(能级)与量子数n2成反比,即 En = - μ Z2 e2 /(2 2 n2 ) ( n = 1, 2, 3, .) 可见,n大时,能级间距变小,因此微扰理论不适用于计算高能级(n大)的修正,而只适用于计算低能级(n 小)的修正。,(1)H mn要小,即微扰矩阵元要小;,物理意义,19,表明微扰态矢ψn 可以看成是无微扰态矢ψm(0)的线性叠加。,(2)展开系数 Hmn /(En(0) - Em(0)) 表明第m个态矢ψm(0)对第n 个态矢ψn 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔,所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计算无限多项,只要算出最近邻的有限项即可。,(3)由En = En(0)+Hnn可知,扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量 H在无微扰态ψn(0)中的平均值组成。该值可能是正或负,引起原来能级上移或下移。,(1)在一阶近似下:,讨论,20,例:已知某表象中Hamilton量的矩阵形式,(1)设c 1,应用微扰论求H本征值到二级近似; (2)求H 的精确本征值; (3)在怎样条件下,上面二结果一致。,解:,(1)c 1,可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为:,21,H0 是对角矩阵,是H0在自身表象中的形式。所以,0级近似的能量和态矢为:,E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2,由非简并微扰公式,能量一级修正:,22,能量二级修正为:,23,准确到二级近似的能量本征值为:,设 H 的本征值是 E,可得久期方程:,,可得:,(3) 将准确解按 c ( 1)展开,微扰论二级近似结果,与精确解展开式,不计c4及以后高阶项的结果相同。,(2)精确解:,24,例:一电荷为 e 的线性谐振子,受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解:,(1)带电谐振子的Hamilton 量,将 Hamilton 量分成H0 + H两部分,在弱电场下,上式最后一项很小,可看成微扰。,25,(2)写出 H0 的本征值和本征函数 E(0), ψn(0),(3)计算 En(1),积分等于0是因为被积函数为奇函数所致。,26,(4)计算能量二级近似En(2),欲计算能量二级修正,首先应计算 H mn 矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式:,金蝉脱壳!,27,对谐振子有;
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