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高等数学同济大学 常数项级数的审敛法(一).ppt

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,第二节,正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法(一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8章,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,,∴部分和数列,有界,,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,,收敛 ,,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (比较审敛法),证明,即部分和数列有界,小发大发大收小收,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,,由图可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,[小发则大发],定理3.比较审敛法的极限形式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性.,,~,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,,~,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,故原级数收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,对任意给定的正数 ,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.,,,,数, 且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p – 级数,说明 :,但,,级数收敛 ;,级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 证明级数,收敛于S ,,似代替和 S 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,,必要条件,发 散,,满足,比值审敛法,根值审敛法,,收 敛,发 散,,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,,收敛 ,,发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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