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概率论与数理统计期末试卷及其答案(最新1-).doc

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''概率论与数理统计期末试卷一、填空(每小题 2 分,共 10 分)1.设 是三个随机事件,则 至少发生两个可表示为______________________。2. 掷一颗骰子, 表示“出现奇数点” , 表示“点数不大于 3”,则 表示______________________。3.已知互斥的两个事件 满足 ,则 ___________。4.设 为两个随机事件, , ,则 ___________。5.设 是三个随机事件, , , 、,则 至少发生一个的概率为___________。二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分,共20 分)1. 从装有 2 只红球,2 只白球的袋中任取两球,记 “取到 2 只白球” ,则 ( ) 。(A) 取到 2 只红球 (B) 取到 1 只白球 (C) 没有取到白球 (D) 至少取到 1 只红球2.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为( ) 。(A) 随机事件 (B) 必然事件(C) 不可能事件 (D) 样本空间3. 设 A、 B 为随机事件,则 ( ) 。(A) A (B) B (C) AB (D) φ4. 设 和 是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是( ) 。(A) 与 互斥 (B) 与 不互斥(C) (D) 5. 设 为两随机事件,且 ,则下列式子正确的是( ) 。(A) (B) (C) (D) 6. 设 相互独立 ,则 ( ) 。(A) (B) (C) (D) 7.设 是三个随机事件,且有 ,则( ) 。 (A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为 p,则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为( ) 。(A) p2(1– p)3 (B) 4 p (1– p)3 (C) 5 p 2(1– p)3 (D) 4 p 2(1– p)3 ''9. 设 A、B 为两随机事件,且 ,则下列式子正确的是( ) 。(A) (B) (C) (D) 10. 设事件 A 与 B 同时发生时,事件 C 一定发生,则( ) 。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1(C) P (A) + P (B) – P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤ P ( C)三、计算与应用题(每小题 8 分,共 64 分)1. 袋中装有 5 个白球,3 个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2. 10 把钥匙有 3 把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3. 一间宿舍住有 6 位同学,求他们中有 4 个人的生日在同一个月份概率。4. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个次品,从中一次抽取 3 个,求至少取到一个次品的概率。5. 加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的次品率分别为 0.2,0.1,0.1,并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6. 已知某品的合格率为 0.95,而合格品中的一级品率为 0.65。求该产品的一级品率。7. 一箱产品共 100 件,其中次品个数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时,从中随机抽取 10 件,如果发现有次品,则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收,求其中确实没有次品的概率。8. 某厂的产品, 按甲工艺加工, 按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8与 0.9。现从该厂的产品中有放回地取 5 件来检验,求其中最多有一件次品的概率。四、证明题(共 6 分)设 , 。证明 试卷一 参考答案一、填空1. 或 2. 出现的点数恰为 53. 与 互斥则 4. 0.6''故 5. 至少发生一个,即为又由 得 故 二、单项选择1.2. A3. A利用集合的运算性质可得.4.与 互斥故 5.故 6.相互独立7.且 ''则 8. 9. B10. B 故 P (A ) + P (B) – P (C) ≤ 1 三、计算与应用题1. 解:设 表示“取到的两球颜色不同” ,则而样本点总数故 2. 解:设 表示“能把门锁打开” ,则 ,而故 3. 解:设 表示“有 4 个人的生日在同一月份” ,则而样本点总数为故 4. 解:设 表示“至少取到一个次品” ,因其较复杂,考虑逆事件 =“没有取到次品”则 包含的样本点数为 。而样本点总数为故 5. 解:设 “任取一个零件为次品”由题意要求 ,但较复杂,考虑逆事件 “任取一个零件为正品” , 表示通过三道工序都合格,则 于是 6. 解:设 表示“产品是一极品” , 表示“产品是合格品”显然 ,则于是 即 该产品的一级品率为7. 解:''设 “箱中有 件次品” ,由题设,有 ,又设 “该箱产品通过验收” ,由全概率公式,有于是 8. 解:依题意,该厂产品的合格率为,于是,次品率为 设 表示“有放回取 5 件,最多取到一件次品”则 四、证明题证明, ,由概率的性质知 则又 且 故 试卷二一、填空(每小题 2 分,共 10 分)''1. 若随机变量 的概率分布为 , ,则 __________。2. 设随机变量 ,且 ,则 __________。3. 设随机变量 ,则 __________。4. 设随机变量 ,则 __________。5. 若随机变量 的概率分布为则 __________。二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分,共 20分)1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数,为使 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ) 。(A) (B) (C) (D) 2. 设随机变量 的概率密度为 ,则 ( ) 。(A) (B) (C) (D) 3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量 的概率密度为 , ,则 的概率密度为( ) 。(A) (B) (C) (D) ''6. 设 服从二项分布 ,则( ) 。(A) (B) (C) (D) 7. 设 ,则 ( ) 。(A) (B) (C) (D) 8.设随机变量 的分布密度为 , 则 ( ) 。(A) 2 (B) 1(C) 1/2 (D) 49.对随机变量 来说,如果 ,则可断定 不服从( ) 。(A) 二项分布 (B) 指数分布(C) 正态分布 (D) 泊松分布10.设 为服从正态分布 的随机变量,则 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、计算与应用题(每小题 8 分,共 64 分)1. 盒内有 12 个乒乓球,其中 9 个是新球,3 个是旧球。采取不放回抽取,每次取一个,直到取到新球为止。求抽取次数 的概率分布。2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作,已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。求(1)在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?(2)若车间中仅有 2 台小吊车,则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少?3. 某种电子元件的寿命 是随机变量,其概率密度为求(1)常数 ;(2)若将 3 个这种元件串联在一条线路上,试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。4. 某种电池的寿命(单位:小时)是一个随机变量 ,且 。求(1)这样的电池寿命在 250 小时以上的概率;(2) ,使电池寿命在 内的概率不小于 0.9。5. 设随机变量 。求 概率密度 。6. 若随机变量 服从泊松分布,即 ,且知 。求 。''7. 设随机变量 的概率密度为 。求 和 。8. 一汽车沿一街道行使,需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求(1) 的概率分布;(2) 。四、证明题(共 6 分)设随机变量 服从参数为 2 的指数分布。证明: 在区间 上,服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6由概率分布的性质有 即 ,得 。2. ,则3. 0.54. ''5. 0.25由题设,可设即0 10.5 0.5则 二、单项选择1. ( )由分布函数的性质,知 则 ,经验证只有 满足, 选2. ( )由概率密度的性质,有 3. ( )由概率密度的性质,有4. ( )由密度函数的性质,有 5. ( )是单减函数,其反函数为 ,求导数得 由公式, 的密度为 6. ( )由已知 服从二项分布 ,则又由方差的性质知,7. ( )''于是 8. (A) 由正态分布密度的定义,有 9. (D) ∴如果 时,只能选择泊松分布.10. (D)∵ X 为服从正态分布 N (-1, 2), EX = -1 ∴ E(2X - 1) = -3三、计算与应用题1. 解:设 为抽取的次数只有 个旧球,所以 的可能取值为:由古典概型,有则1 2 3 42. 解:设 表示同一时刻需用小吊车的人数,则 是一随机变量,由题意有 ,,于是(1) 的最可能值为 ,即概率 达到最大的(2)3. 解:''(1)由 可得 (2)串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作,而这里三个元件的工作是相互独立的,因此,若用 表示“线路正常工作” ,则而 故 4. 解:(1)(查正态分布表)(2)由题意 即 查表得 。5. 解:对应的函数 单调增加,其反函数为 ,求导数得 ,又由题设知 故由公式知: 6. 解:,则而由题设知 ''即 可得 故 查泊松分布表得,7. 解:由数学期望的定义知,而 故 8. 解:(1) 的可能取值为 且由题意,可得即0 1 2 3(2)由离散型随机变量函数的数学期望,有四、证明题证明:由已知 则又由 得 连续,单调,存在反函数''且 当 时, 则 故 即 试卷三一、填空(请将正确答案直接填在横线上。每小题 2 分,共 10 分)1. 设二维随机变量 的联合分布律为,则 __________, __________.2. 设随机变量 和 相互独立,其概率分布分别为,则 __________.3. 若随机变量 与 相互独立,且 , ,则 服从__________分布.4. 已知 与 相互独立同分布,且则 __________.5. 设随机变量 的数学期望为 、方差 ,则由切比雪夫不等式有__________.二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分,共''20 分)1. 若二维随机变量 的联合概率密度为 ,则系数 ( ).(A) (B) (C) (D) 2. 设两个相互独立的随机变量 和 分别服从正态分布 和 ,则下列结论正确的是( ).(A) (B) (C) (D) 3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为 , 则( ).(A) (X , Y) 服从指数分布 (B) X 与 Y 不独立 (C) X 与 Y 相互独立 (D) cov(X , Y) ≠04. 设随机变量 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则下列随机变量中服从均匀分布的有( ).(A) (B) (C) (D) 5. 设随机变量 与随机变量 相互独立且同分布, 且, 则下列各式中成立的是( ).(A) (B) (C) (D) 6.设随机变量 的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是( ).(A) (B) (C) (D) 7. 若随机变量 是 的线性函数, 且随机变量 存在数学期望与方差,则 与 的相关系数 ( ).(A) (B) (C) (D) 8. 设 是二维随机变量,则随机变量 与 不相关的充要条件是( ).(A) (B) (C) (D) 9. 设 是 个相互独立同分布的随机变量, ,''则对于 ,有 ( ).(A) (B) (C) (D) 10. 设 ,为独立同分布随机变量序列,且 Xi ( i = 1,2,…)服从参数为 λ 的指数分布,正态分布 N ( 0, 1 ) 的密度函数为 , 则( ).三、计算与应用题(每小题 8 分,共 64 分)1. 将 2 个球随机地放入 3 个盒子,设 表示第一个盒子内放入的球数, 表示有球的盒子个数.求二维随机变量 的联合概率分布.2. 设二维随机变量 的联合概率密度为(1)确定 的值;(2)求 .3. 设 的联合密度为(1)求边缘密度 和 ;(2)判断 与 是否相互独立.4. 设 的联合密度为求 的概率密度.5. 设 , ,且 与 相互独立.求(1) 的联合概率密度;''(2) ;(3) .6. 设 的联合概率密度为求 及 .7. 对敌人阵地进行 100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是 4,标准差是 1.5.求 100 次炮击中有 380 至 420 课炮弹命中目标的概率.8. 抽样检查产品质量时,如果发现次品数多于 10 个,则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为 10%的这批产品不被接受的概率达 0.9.四、证明题(共 6 分)设随机变量 的数学期望存在,证明随机变量 与任一常数 的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2. 3. 相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且 ,,∴4. ''5. 二、单项选择1. (B)由 即 ∴选择(B ).2. (B)由题设可知,故将 标准化得 ∴选择(B ).3. (C)∴选择(C).4. (C)∵随机变量 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布 , 则∴选择(C).5. (A)∴选择(A ).6. (A)∵由期望的性质知''∴选择(A ).7. (D)∴选择(D ).8. (B)与 不相关的充要条件是即 则 ∴选择(B ).9. (C)∴选择(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,…)服从参数为 λ 的指数分布,则故 ∴选择(A ).三、计算与应用题1. 解显然 的可能取值为 ; 的可能取值为注意到将 个球随机的放入 个盒子共有 种放法,则有''即 的联合分布律为2. 解(1)由概率密度的性质有可得 (2)设 ,则3. 解(1) ''即 即 ,(2)当 时故随机变量 与 不相互独立.4. 解先求 的分布函数 显然,随机变量 的取值不会为负,因此当 时, ,当 时,故 的概率密度为5. 解(1) 与 相互独立''的联合密度为(2)(3)6. 解''于是 由对称性 故 .7. 解设 表示第 次炮击命中目标的炮弹数,由题设,有 ,则 次炮击命中目标的炮弹数 ,因 相互独立,同分布,则由中心极限定理知近似服从正态分布''于是 8. 解设应检查 个产品,其中次品数为 ,则由题设,这里,可以认为 较大,则由棣莫弗—拉普拉斯定理知,近似服从正态分布依题意,有 即 亦即 查表得 故至少应检查 个产品,才能达到题设要求.四、证明题证由协方差的定义及数学期望的性质,得
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