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小学最大值与最小值.docx

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知识网络人们经常考虑有关“最”的问题,如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题,我们在实际生产和生活中经常遇到。在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论:(1)两个数的和一定,那么当这两个数的差最小时,它们的积最大。(2)三个数 a、b、c ,如果 a+b+c 一定,只有当 a=b=c 时,a×b×c 的积才能最大。(3)两个数的积一定,那么当两个数的差最小时,它们的和最小。(4)在所有周长相等的 n 边形中,以正 n 边形的面积最大。(5)在周长相等的封闭平面图形中,以圆的面积为最大。(6)在棱长的和一定的长方体中,以长、宽、高都相等的长方体,即正方体的体积最大。(7)在所有表面积一定的几何体中,球体体积最大。重点·难点本节所涉及的题型较多,但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。如何根据题意,灵活运用不同的方法来求出表达式,再求最值,或直接求最值是本讲的重点。这就要求我们不能太急于入手,不妨从一些比较简单的现象或数字开始,找出规律,进而解决问题。学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异,归纳起来有以下几种常用的方法:(1)从极端情形入手。(2)枚举比较。(3)分析推理。(4)构造。[例 1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少?思路剖析两个最小的不同的奇合数为 9 和 15,9+15=24,因此小于 24 的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。下面我们只需要考虑大于 24 的偶数即可。15 后面的一个奇合数为21,9+21=30,所以比 24 大比 30 小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。 32 也不能,34=9+25,36=9+27,38 不能,40=15+25,42=15=27 ,44=9+35,…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为 38。解答根据以上分析,我们初步确定所求的最大偶数为 38,下面我们给予证明。比 38 大的个位为 0 的数(40,50,60,…),可以用下面形式的两个奇合数表示出来:40=15+25,50=15+35,60=15+45 ,…比 38 大的个位为 2 的数(42,52,62,…),可以用下面形式的两个奇合数表示出来:42=27+15,52=27+25,62=27+35 ,…比 38 大的个位为 4 的数(44,54,64,…),可以用下面形式的两个奇合数表示出来:44=9+35,54=9+45,64+9+55 ,…比 38 大的个位为 6 的数(46,56,66,…),可以用下面形式的两个奇合数表示出来:46=21+25,56=21+35,66=21=45 ,…比 38 大的个位为 8 的数(48,58,68,…),可以用下面形式的两个奇合数表示出来:48=33+15,58=33+25,68=33+35 ,…这样就证明了比 38 大的任何一个偶数都可写成两个不同的奇合数之和。所以 38 是不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数。[例 2]已知两个四位数的差是 8921(如图 1 所示),那么这两个四位数的和的最大值是多少?图 1思路剖析由数字可知减数的千位上不能为零,而其对应的差为 8,所以被减数与减数的千位数必定分别为 9 与 1。同样百位上的数分别是 9 与 0。要求两个四位数的和的最大值,在千位与百位已确定的情况下,十位,个位上的数字差一定,只需其和最大即可。解答据以上分析知,被减数与减数十位上的数字分别为 9 和 7,个位上的数字为 9 和 8,所以这两个数为 9999 与 1078。因为 9999+1078=11077所以,这两个四位数的和的最大值是 11077。[例 3]用 20 米的长的篱笆围成一个长方形的鸡舍,若长方形一面靠墙,长和宽各为多少时,鸡舍面积最大,最大面积是多少?思路剖析我们知道,当一个长方形周长一定时,如长与宽相等则面积最大。因为此题由于靠墙部分没有篱笆,不能直接运用以上结论。通过观察,我们想到把这个长方形关于墙对称到墙的另一侧(如图 2 虚线所示),则这两个长方形就转化成了一个较大的长方形。问题也就转化成用 40 米长的篱笆围成一个长方形,当长方形的长和宽各为多少时,面积最大,最大值为多少?解答作出这个长方形关于墙对称到墙另一侧的部分,得到一个新的长方形,此时大长方形周长为 40 米,大长方形的长+宽=20 米。我们知道当长方形周长一定时,长和宽相等时,面积最大。所以当大长方形长、宽均为 10 米时,大长方形面积最大。也就是说原长方形长为 10 米,宽为 5 米时,鸡舍面积最大,这个最大面积是 50 平方米。[例 4]有一路公共汽车,包括起点站和终点站共有 10 个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,恰好各有一位乘客从这
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