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【点集拓扑学】第一章 朴素集合论.ppt

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【点集拓扑学】第一章 朴素集合论.ppt
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2019/8/9,1,第一章 朴素集合论,点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述, 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对已有过了解的知识不提或少提.记号: Z, Z+, R, Q分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集.,2019/8/9,2,一. 集合的运算,幂集P(X), 交∩、并∪、差-(补, 余CA, A). 运算律: De Morgan律: (1) A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(2) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 A1∪A2∪…∪An=(A1∪…∪An-1)∪An,规定0个集之并是, 不用0个集之交.,=∪i≤nAi= Ai.,2019/8/9,3,二. 关系,R是集合X的一个关系, 即RX×X, (x, y)R记为xRy, 称x与y是R相关的. R称为自反的, 若xX, xRx; R称为对称的, 若xRy, 则yRx; R称为传递的, 若xRy, yRz, 则xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系. 如, Δ(X)={(x, x)|xX}, 恒同关系, 它是等价关系; {(x,y)|x,yR, xy}, 小于关系, 它是传递的, 但不是对称的、不是自反的.,2019/8/9,4,二. 关系(2),设R是X上等价关系, xX, x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{yX|xRy}, [x]R的元称为[x]R的代表元; 商集X/R={[x]R|xX}. 定理1.4.1 设R是非空集合X的等价关系, 则 (1) xX, x[x]R; (2) x, yX, 或者[x]R=[y]R, 或者[x]R∩[y]R=. 证(2). 设z[x]R∩[y]R, 则zRx, zRy, 于是[x]R[y]R且[y]R [x]R, 于是[x]R=[y]R.,2019/8/9,5,三. 映射,函数f: X→Y. AX, f(A)={f(x)|xA}像;BY, f-1(B)={xX | f(x)B}原像. 满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射iX、限制f|A、扩张、内射iX|A: A→X.,集合Xi, i≤n, 笛卡儿积X1×X2×…×Xn= Xi =Пi≤nXi,={(x1,…,xn) | xiXi, i≤n} 到第i个坐标集Xi的投射pi: X→Xi 定义为p(x)=xi, 其中x=(x1,…,xn). 对等价关系R, 集合X到商集X/R的自然投射p: X→X/R定义为p(x)=[x]R.,2019/8/9,6,四. 集族,数列{xn}={xn}nZ+, 有标集族{Aγ}γΓ, 指标集Γ, 与{Aγ | γΓ|}不同, 可记有标集族A={A}AA; 类似地, 定义其并∪γΓAγ(或∪A)、交∩γΓAγ(或∩A), 不定义0个集的交. 与有限集族有相同的运算律,如De Morgan律 : (1) A-(∪γΓAγ)=∩γΓ(A- Aγ),(2) A-(∩γΓAγ)=∪γΓ(A- Aγ).映射对应的集族性质:f(∪γΓAγ)=∪γΓf(Aγ), f(∩γΓAγ)∩γΓf(Aγ),f-1(∪γΓBγ)=∪γΓf-1(Bγ), f-1(∩γΓBγ)=∩γΓf-1(Bγ).,2019/8/9,7,五. 无限集,通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(或与某{1, 2, …, n}有一一映射), 无限集, 可数集(或存在X到Z+的单射), 不可数集.易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集.定理1.7.3 X是可数集X是Z+的映像.由此, Q是可数集; 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 如Z+ Z+是可数集; 可数个可数集之并集是可数集.,2019/8/9,8,五. 无限集(2),定理1.7.8 R是不可数集.证 利用Cantor对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数. 若R是可数的, 则(0, 1)是可数的.记其所有点为bk=0.bk1bk2…bkn…, kZ+, 其中每一bkn{0, 1, …, 9}. 取定,令a=0.a1a2…an…, 则a(0, 1), 但是abn, 矛盾.,2019/8/9,9,五. 无限集(3),直观上, 集合A中元素的个数
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