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2014海文高数赵达夫强化班讲义.pdf

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1 2014 海文 考研 强化 班 讲义 2 高等数学 强化讲义 一 函数 极限 连续 § 1 函数 一 函数的基本概念 D 是一个非空实数集合,设有一个对应规则 f ,使每一个 xD ,都有一个确定的实数 y 与之对应,则称这个对应规则 f 为定义在 D 上的一个函数关系,或称变量 y 是变量 x 的函数,记作 ( ), y f x x D. 二 函数的基本 性 态 1 奇偶性 (1) 定义:偶 )()( xfxf  ;奇 )()( xfxf  。 (2) 导函数:奇导偶,偶导奇 . (3) 原函数:奇原偶 , 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数 , 其中 0, ( )() ()x fxf t dt fx 偶 奇奇 , 偶 2 有界性 (1) 定义: 0M, xX ,有 Mxf )( . (2) 无界: 0M, xX ,有 ()f x M . (3) 无界与无穷: 无界的本质是有一个子列趋向于无穷; 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定:设 )(xf 在  ,ab 连续 , 则 )(xf 在  ,ab 有界 . 设 )(xf 在 (, )ab 连续 , 且 lim ( ), lim ( )x a x bf x f x   存在 , 则 )(xf 在 (, )ab 有界 . 3 周期性 (1) 定 义: )()( xfTxf  3 (2) 导函数:导函数还是周期函数并且周期相同 注:周期函数的原函数不一定为周期函数。 4 单调性 (1) 定义:递增 (递减 ) 当 12xx 时,均有  1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x或 (2) 导函数: '( ) ( )0 ( )f x f x 单增 (减 ); '( ) ( )0 ( )f x f x  单增 (减 ). 题型一 无界与无穷的判定 例 1 设 c o s( ) s i n , ( )xf x x e x f x 则 是 ( ) ( A) 偶函数 ( B)有界函数 ( C) 周期函数 ( D)单调函数 . 例 2 当 0x 时,变量xx 1sin12是( ) ( A)无穷小 ( B)无穷大 ( C)有界的,但不是无穷小量 ( D)无界的,但不是无穷大 题型二 函数性态的判定 例 3 设 ()fx是一个奇的连续函数,则下面必定是奇函数的是 ( ) ( A)  0( ) ( )x f t f t dt ( B)  0( ) ( )x f t f t dt ( C) '()fx ( D)根据上面条件无法判断 4 例 4 设函数 ()fx具有二阶导数,并满足 ( ) ( ),f x f x   且 ( ) ( 1).f x f x若'(1) 0,f  则( ) (A) ''( 5 ) '( 5 ) ( 5 ) .f f f     (B) (5 ) ''( 5 ) '( 5 ).f f f    (C) '( 5 ) ( 5 ) ''( 5 ) .f f f     (D) ( 5 ) '( 5 ) ''( 5 ) .f f f     练习: 设 ()fx在 ),(  内可导,且对任意 21,xx ,当 21 xx 时,都有 )()( 21 xfxf  ,则 ( ) ( A) 对任意 0)(', xfx ( B)对任意 0)(', xfx ( C)函数 )( xf  单调增加 ( D)函数 )( xf  单调增加 . 例 5 设函数2| | sin ( 2 )() ( 1)( 2 )xxfx x x x  在下列哪个区间内有界 ( ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 三 各种其他的函数 1分段函数:函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达 2 复合函数 [()]x : )(ufy 与 )(xu  复合而成的复合函数 ,u 为中间变量 . 3 反函数、隐函数 (1)原来的函数为 )(xfy ,若把 y 作为自变量, x 作为因变量,便得一个函数5 )(yx  ,且 yyf )]([ ,称 )(yx  为 )(xfy 的反函数 . (2) 隐函数 : ( , ) 0F x y  . 4 初等函数 (1) 基本初等函数:常数,幂,指数,对数,三 角,反三角 . (2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数
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