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随机过程习题解答第1,2章.doc

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随机过程习题解答第1 2章.doc
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习题 11. 令 X(t)为二阶矩存在的随机过程,试证它是宽平稳的当且仅当 EX(s)与 E[X(s)X(s+t)]都不依赖 s.证明:充分性:若 X(t)为宽平稳的,则由定义知EX(t)=, EX(s)X(s+t)=r(t) 均与 s 无关必要性:若 EX(s)与 EX(s)X(s+t)都与 s 无关,说明EX(t)=常数, EX(s)X(s+t)为 t 的函数2. 记 , . . . , 为在(0,1)中均匀分布的独立随机变量,对 0 st-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- 2= (s+1-t)= - (t-s)- 2(3) 若 tt+1 Cov(y(t),y(s))=0- =-2由此知,故方差只与 t-s 有关,与 t,s 无关故此过程为宽平稳的。6,令 z 和 z 是独立同分布的随机变量,P(z =-1)=P(z =1)=1/212 12记 x(t)=z cos t+z sin t, t R,试证:x(t)是宽平稳的,它是严平稳吗?证明:Ez =0, Ez =(-1) ×1/2+1 ×1/2=1/2+1/2=1=D(z ) 11221Cov(z ,z )=02Ex =0tcov(x ,x )=E(x ,x )=E(z cos tcos s+z sin tsin s+z z cos tsin s+z ztsts122121sin tcos s)2coins0cos()ttt故 为宽平稳的。()xt而显然,x(t)与 x(t+h)的分布不相等,故不是严平稳的。7、试证:若 为独立同分布的随机变量,定义 ,则{ ,n01,.Z 01.nnXZx0}是独立增量过程。Proof: 与 相互独立,1.nmnnmXZ01,.n故 与 相互独立。8、若 为独立随机变量,还要添加什么条件才能确保它是严平稳的随机过程?12,.Solution:添加 ,同分布的条件。12,.X9.令 X 和 Y 是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标和纵坐标,试计算条件概率:P( )234YSolution: 1(,)2xyfdyP( )234XY2 9143523(,)148PXYrd=()tcosinttcosinttcosinttcosinttP 14141414()xthcos()sin()thtcos()sin()thtcos()sin()thtP 141414()xthcos()sin()thtP 1410.粒子依参数为 λ 的 Poisson 分布进入计数器,两粒子到达的时间间隔 T1,T2,…是独立的参数为 λ 的指数分布随机变量。记 S 是[0,1]时段中的粒子总数,时间区间 I∈[0,1],其长度记为|I|.试证明 P(T1∈I,S=1)=P(T1∈I,T1+T21),并由此计算 P(T1∈I|S=1)=|I|.Proof。{T1∈I,S=1}表明在 I 内来到了一个粒子,在[0,1]-I 内再也没有来到粒子,也就是说第二个粒子的到来在[0,1]之后,即 T1+T21.(T1+T2 为第二个粒子来到的时间)。从而P{T1∈I,S=1}=P{T1∈I,T1+T21}P(T1∈I|S=1)= P(T1∈I,S=1)/P(S=1)= P(T1∈I,T1+T21)/P(S=1) S~P(λ)={λ|I|e -λ|I| *(λ(1-|I|)) 0*e-λ(1-|I|) }/λe -λ=|I|11.X,Y 为两独立随机变量且分布相同,证明 E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z).并试求基于 x+y=z的 x 的最佳预报,并求出预报误差 E(x-φ(x+y)) 2Proof:因 x 与 y 独立,且分布相同,则 x|x+y=z =d y|x+y=z故 E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z)而 E(x+y|x+y=z)=z,故 E(x|x+y=z)=z/2用任意的 φ(z)来对 x 做预报,预报误差为:E(x-φ(z) ) 2=E(x- E(x|x+y=z)+ E(x|x+y=z) -φ(z)) 2=E(x- E(x|x+y=z))2+E(E(x|x+y=z) -φ(z)) 2+2E(x- E(x|x+y=z)) *(E(x|x+y=z) -φ(z))=
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