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非线性最优化问题的一种混合解法.doc

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1非线性最优化问题的一种混合解法摘要:把 BFGS方法与混沌 优化方法相结合,基于混沌变量提出一种求解具有变量边界约束非线性最优化问题的混合优化方法。混合算法兼顾了混沌优化全局搜索能力强和BFGS方法收 敛速度快的 优点,成为一种求解非凸优化问题全局最优的有效方法。算例表明,当混沌搜索的次数达到一定数量时,混合优化方法可以保证算法收敛到全局最优解,且计算效率比混沌优化方法有很大提高。关键词:混合法;BFGS 方法;混沌优化方法;全局最优1引言在系统工程、控制工程、统计学、反问题优化求解等领域中,很多问题是具有非凸性的。对此普通的优化技术只能求出局部最优解,因为这些确定性算法总是解得最近的一个极值点[1],只有能 够给出很好的初始点才有可能得出所需要的全局最优解。为此,实际应用中通过在多个初始点上使用传统数值优化方法来求取全局解的方法仍然被人们所采用,但是这种处理方法求得全局解的概率不高,可靠性低,建立尽可能大概率的求解全局解算法仍然是一个重要问题。近年来基于梯度法的全局最优化方法已经有所研究[2],基于随机搜索技术的遗传算法和模拟退火算法等在全局优化问题中2的应用也得到越来越大的重视[3-4]。本文则基于混沌优化和BFGS方法,提出一种求解具有简单界约束最优化问题(1) 的混合算法。min(1)混沌是存在于非线性系统中的一种较为普遍的现象。混沌运动宏观上无序无律,具有内随机性、非周期性和局部不稳定性,微观上有序有律,并不是完全的随机运动,具有无穷嵌套的自相似几何结构、存在普适性规律,并不是杂乱无章的。利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性特点可以进行优化搜索[5],且混沌优化方法容易跳出局部最优点。但是某些状态需要很长时间才能达到,如果最优值在这些状态时,计算时间势必很长[5]。可以说混沌优化具有全局搜索能力,其局部搜索能力稍显不足,文[5]采用二次载波技术,文[6]考虑逐渐缩小寻优变量的搜索空间都是为了弥补这一弱点。而本文则采用混沌搜索与 BFGS方法进行优化求解,一方面采用混沌搜索帮助 BFGS方法跳出局部最优,另一方面利用 BFGS增强 解附近的超线性收敛速度和搜索能力,以提高搜索最优的效率。2 混沌-BFGS 混合优化方法 2.1BFGS方法作为求解无约束最优化问题的拟牛顿方法类最有代表性的算法之一,BFGS 方法处理凸非线性规划问题,以其完善的数学理论基础、采用不精确线性搜索时的超线性收敛性和处理实际问题有效性,受到人们的重视[7-9]。拟牛顿方法使用了二阶导数信息,但是并不直接计算函数的 Hesse矩阵,而是采用一阶梯度信息来构造一系列的正定矩阵来逼近 Hesse矩3阵。BFGS 方法求解无 约束优化问题 min()的主要步骤如下:(1)给变量赋初值 x0,变量维数 n和 BFGS方法收敛精度 ε,令B0=I(单位 阵),k=0,计算在点 x0的梯度 g0。(2)取 sk=-Bk-1gk,沿 sk作一维搜索,确定最 优步长 αk, ,得新点xk+1=xk+αksk,计算 xk+1点的梯度 gk+1。(3)若||gk+1||≤ε,则令, ,BFGS搜索结束,转步骤 3;否则执行(4)。(4)计算 Bk+1:(2)(3)(5)k=k+1,转(2) 。2.2混沌优化方法利用混沌搜索求解问题(1)时,先建立待求变量与混沌变量的一一对应关系,本文采用。然后,由 Logistic映射式(4)产生个轨迹不同的混沌变量()进行优化搜索,式(4)中=4 。已经证明,=4是“单片”混沌,在[0,1]之间历遍。(4)(1) 给定最大混沌变量运动次数 M;给赋初 值,计算和;置, 。(2)。(3)。(4)若 kM,若,令, ;若,和保持不变;然后令 k=k+1,转(2)。若 kM,则, ,混沌搜索结束。2.3 混合优化方法混沌方法和 BFGS方法混合求解连续对象的全局极小值优化问题(1)的步骤如下:step1 设置混沌搜索的最大次数 M,迭代步数 iter=0,变量赋初值x0,。step2以为始点 BFGS搜索,得当前 BFGS方法最优解及=。step3若,取 =;若,取;若,取,是相对于,较小的数。step4 以为始点进行混沌搜索 M次,得混沌搜索后的最优解及=。step5若, iter=iter+1,转 step2;否则执 行 step6。step6改变混沌搜索轨迹,再次进行混沌搜索,即给加微小扰动,执行step4,得搜索 结果和。若, iter=iter+1,转 step2;否则计算结束,4输出、 。对全局极大值问题,max,可以转化为求解全局极小问题 min。混合算法中混沌搜索的作用是大范围宏观搜索,使得算法具有全局寻优性能。而 BFGS搜索的作用是局部地、细致地进行优化搜索,处理的是小范围搜索问题和搜索加速问题。3 算例图 1函数
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