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非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验.doc

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非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963 年美国气象学家 Lorenz 在分析天气预模型时,首先发现空气动力学中混沌现象,该现象只能用非线性动力学来解释。从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题,人们对此领域进行了深入研究,发现混沌现象涉及的领域极广,如:物理学,电子学,经济学,生物学,计算机科学等。本实验通过对非线性电路混沌现象的观察,从而了解和理解非线性混沌现象的本质。一.实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程;⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察,加深对混沌现象的认识和理解⒊理解“蝴蝶效应” 。二.实验原理⒈分岔与混沌理论⑴ 逻辑斯蒂映射为了认识混沌(chaos)现象,我们首先介绍逻辑斯蒂映射,即一维线段的非线性映射, 因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。考虑一条单位长度的线段,线段上的一点用 0 和 1 之间的数 表示。逻辑斯蒂映射是x)(xk其中 是 0 和 4 之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统k, ,1,2…)1(nnx0我们发现:①当 小于 3 时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当 大于 3 时,随着 的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之kk为周期 2 循环; 继续增大会出现 4,8,16,32…周期倍化级联;③很快 在 左右就k58.3结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应” 。⑤迭代结果不会超出 0~1 的范围称为奇怪吸引子。以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线,所以先画一条 的抛物线,再画一条 的辅助线,迭代过程如箭头线所示(图)(xkyxy1) 。图 1—A 不动点 图 1—B 分岔周期 2 图 1—C 混沌 图 1—D 蝴蝶效应X0 XA XB图 1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图以 为横坐标,迭代 200 次以后的 值为纵坐标,可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔kx图。图 2 逻辑斯蒂映射的分岔图。 从 2.8 增大到 4。k从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期 3,5,7…奇数及其倍周期6,10,14…的循环,混沌产生有序,或秩序从混沌中来。其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代,不是个别例子特有的,具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统(给系统建立确定论的动力学方程组)中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。⑶混沌性态①不确定性(确定性系统) ;②“蝴蝶效应”;③由⑴⑵可得混沌系统的长期行为不可精确预测;④混沌吸引子(非线性事物的演变规律) ;⑤混沌不是简单的完全随机,具有规律性;⑥混沌现象是非线性系统中存在的普遍现象。⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图 3 所示。它由有源非线性负阻器件 R;LC 振荡器和移相器三部分构成。图中只有一个非线性元件 R,它是一个有源非线性负阻器件;电感器 L 和电容器 C2 组成一个损耗可以忽略的振荡回路;可变电阻 Rv1+Rv2 和电容器 C1 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件 R 是一个三段分段线性元件。图 4 所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时,通过它的电流却减小,因而将此元件称为非线性负阻元件。 I(R)V(R)图4C2 C1LRRV1+RV2图 3 非线性电路原理图 图 4 非线性负阻器件 R 的伏安曲线图 3 电路的非线性动力学方程为: 1121*)(*VcgcGdtVCLit)(2122VcdtiL式中,导纳 G=1/(Rv1+Rv2), 和 分别表示加在 C1 和 C2 上的电压, 表示流过1Vc2 Li电感器 L 的电流,g 表示非线性电阻的导纳。⑵有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种,这里使用的是一种较简单的电路:采用两个运算放大器(一个双运放 TL082)和六个配置电阻来实现,其电路如图 5 所示,它的伏安特性曲线如图 6 所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响,只要知道它主要是一个负电阻电路(元件)能输出电流,维持 LC2 振荡器不断振荡,而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。图 5 图 6 图 7 实际非线
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