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第26讲 牛吃草问题.doc

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第26讲 牛吃草问题.doc
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第 26 讲 牛吃草问题“一堆草可供 10 头牛吃 3 天,这堆草可供 6 头牛吃几天?”这道题太简单了,同学们一下就可求出:3×10÷6=5(天)。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是牛吃草问题。例 1 牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天,或者可供 15 头牛吃 10 天。问:可供 25 头牛吃几天?分析与解:这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化,我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以这片草地每天新长出的草的数量相同,即每天新长出的草是不变的。下面,就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。设 1 头牛一天吃的草为 1 份。那么,10 头牛 20 天吃 200 份,草被吃完;15 头牛 10 天吃 150 份,草也被吃完。前者的总草量是 200 份,后者的总草量是 150 份,前者是原有的草加 20 天新长出的草,后者是原有的草加 10 天新长出的草。200-150=50(份),20—10=10(天),说明牧场 10 天长草 50 份,1 天长草 5 份。也就是说,5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完,5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出,牧场上原有草(l0—5)× 20=100(份)或(15—5)×10=100(份)。现在已经知道原有草 100 份,每天新长出草 5 份。当有 25 头牛时,其中的 5 头专吃新长出来的草,剩下的 20 头吃原有的草,吃完需100÷20=5(天)。所以,这片草地可供 25 头牛吃 5 天。在例 1 的解法中要注意三点:(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。(2)在已知的两种情况中,任选一种,假定其中几头牛专吃新长出的草,由剩下的牛吃原有的草,根据吃的天数可以计算出原有的草量。(3)在所求的问题中,让几头牛专吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,根据原有的草量可以计算出能吃几天。例 2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。如果同时打开 2 个出水管,那么8 分钟后水池空;如果同时打开 3 个出水管,那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟?分析:虽然表面上没有“牛吃草”,但因为总的水量在均匀变化,“水”相当于“草”,进水管进的水相当于新长出的草,出水管排的水相当于牛在吃草,所以也是牛吃草问题,解法自然也与例 1 相似。出水管所排出的水可以分为两部分:一部分是出水管打开之前原有的水量,另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的,所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。设出水管每分钟排出水池的水为 1 份,则 2 个出水管 8 分钟所排的水是 2×8=16(份),3 个出水管 5 分钟所排的水是 3×5=15(份),这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在 8-5=3(分)内所放进的水量,所以每分钟的进水量是有的水,可以求出原有水的水量为解:设出水管每分钟排出的水为 1 份。每分钟进水量答:出水管比进水管晚开 40 分钟。例 3 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天,或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算,可供多少头牛吃 10 天?分析与解:与例 1 不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少。但是,我们同样可以利用例 1 的方法,求出每天减少的草量和原有的草量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。20 头牛 5 天吃 100 份,15 头牛 6 天吃90 份,100-90=10(份),说明寒冷使牧场 1 天减少青草 10 份,也就是说,寒冷相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”,再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草,所以牧场原有草(20+10)×5=150(份)。由 150÷10=15 知,牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天,寒冷占去10 头牛,所以,可供 5 头牛吃 10 天。例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级,女孩每分钟走 15 级梯级,结果男孩用了 5 分钟到达楼上,女孩用了 6 分钟到达楼上。问:该扶梯共有多少级?分析:与例 3 比较,“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”,“草”变成了“梯级”,“牛”变成了“速度
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