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第1章整数的可除性.doc

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第一章 整数的可除性整 除整除是数论中的基本概念,在这一部分中,我们从这个概念出发,引进带余数除法及辗转相除法,然后利用这两个工具,建立最大公因数与最小公倍数的理论,进一步证明极具重要性的算术基本定理。最后介绍两个重要的函数[ ]与{ },并用[ ]来说明如何把 !表成质数幂的乘积。整除的定义 设 , 是任意两个整数,其中 ≠0,如果存在一个整数 使得等式= (1)成立,我们就称为 整除 或 被 整除,记做 | ,此时我们把 叫做 的因数,把 叫做 的倍数,如果(1)里的整数 不存在,就说 不能整除 或 不被 整除,记做。例如 =6, =3 时,有 q=2 使 = ,故 3|6;又如 =4, =3 时,不存在整数使 =bq,故 3 4。整除的性质定理 1 若 是 的倍数, 是 的倍数,则 是 的倍数。即:| , | | 。证:由 | , | 及整除的定义知存在整数 使得 。因此,但 是一个整数,故 c | 。定理 2 若 , 都是 的倍数,则 也是 的倍数。证 , 都是 的倍数的意义就是存在两个整数 ,使得所以 ,但 为整数,故 是 的倍数。用类似方法可以证明下面的定理 3,请同学们自己给出证明。定理 3 若 都是 的倍数, 是任意 个整数,则是 的倍数。例 证明 3| ( +1)(2 +1),其中 是任何整数。证 因为( +1)(2 +1)= ( +1)[( +2)+( -1)]= ( +1)( +2)+( -1) ( +1),而三个连续整数的积可被 3 整除,于是 3| ( +1)( +2),3|( -1) ( +1) 。所以 3| ( +1)(2 +1)。第一章 整数的可除性带余数除法 任给两个整数,它们之间不一定有整除关系,一般有下面的带余数除法。定理 若 , 是两个整数,其中 0,则存在两个整数 及 ,使得(2)成立,而且 及 是唯一的。证 作整数序列…,-3 ,-2 ,- ,0, ,2 ,3 ,…则 必在上述序列的某两项之间,即存在一个整数 使得 成立。令 - = ,则 为整数,且 = + ,而 。设 是满足(2)的另两个整数,则, 所以 ,于是 ,故 。由于 都是小于 的正整数或零,故 。如果 ,则 ,这是一个矛盾。因此 ,从而 。整数的很多性质都可以从这一定理引导出来,我们这一章的最主要部分就是建立在这一定理的基础上的。定义 (2)中的 叫做 被 除所得的不完全商, 叫做 被 除所得到的余数。例 设 =15,则当 =255 时=17 +0, =17, =00,实际上只需 ≠0 即可,即有下面的 推论 若 , 是两个整数,其中 ,则存在两个整数 及 使得= + , 成立,而且 及 是唯一的。第一章 整数的可除性最大公因数利用前面的带余数除法,我们可以着手研究整数的最大公因数及实际求法,处理整个问题的方法就是用所谓的辗转相除法。最大公因数的定义 设 是 ( ≥2)个整数,若整数 是它们之中每一个的因数,那么 就叫做 的一个公因数。整数 的公因数中最大的一个叫做最大公因数,记作 。若 ,就称 互质,若 中每两个互质,我们就说它们两两互质。注 若整数 两两互质,则 ,但反过来却不一定成立,比如(6,10,15)=1,但(6,10)≠1, (6,15)≠1, (10,15)≠1。又由定义知,当 不全为零时, 是存在的。为了能方便地计算最大公因数,下面我们先讨论一下最大公因数的性质,通过这些性质,就可找到计算最大公因数的方法。最大公因数的性质定理 1 若 是任意 个不全为零的整数,则(1) 与 的公因数相同;(2)证 我们只证明(1) , (2)可由(1)及最大公因数的定义得出,设 是的任一公因数,则 , ,于是 ,又 或 ,故 , ,所以 也是 的公因数。反之,设 是 的任一公因数,则 , 。因 或,故 或 ,当 时,由 及整除性质可得 ,。所以 也是 的公因数。利用定理 1,可将负数的最大公因数转化为正数的情况。下面先讨论两个整数的最大公因数的计算方法,然后再推广到 个的情况。定理 2 若 是任一正整数,则(0, )= 。证 因 |0, | ,所以 是 0 和 的公因数,设 是 0 和 的任一公因数,则| ,所以 = ,故 。从而 ≤ 。由定义知(0, )= 。定理 3 设 , , c 是任意三个不全为零的整数,且= + c ,其中 是整数,则 , 与 , 有相同的公因数,从而( , )=( , c ) 。证 设 是 , 的任一公因数,则 | , | ,由于 = - ,于是由整除的性质知 | ,从而 为 , c 的一个公因数。同理可证 , c 的任一公因数也是 , 的一个公因数。故 , 与 , c 有相同的公因数。再由最大公因数的定义知后一结论成立。最大公因数的计算由定理 3 及带余数除法,可得出两个数的最大公
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