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线性代数(赵树嫄)第四章.ppt

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线性代数(赵树嫄)第四章.ppt
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第四章 矩阵的特征值,§4.1 矩阵的特征值与特征向量 §4.2 相似矩阵与矩阵的对角化 §4.3 对称矩阵的特征值与特征向量,,§4.1 矩阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,二、 特征值与特征向量的计算,三、矩阵特征值、特征向量的性质,,设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量具有关系式 A =  (1)成立,则数  称为方阵A的特征值, n维非零列向量  称为A的对应于特征值的特征向量。,定义4.1,,一、特征值与特征向量的概念,,为什么?,矩阵A的迹tr(A),,,二、特征值与特征向量的计算,,,例2 求矩阵,的特征值和特征向量。,解: A的特征多项式为,0,由此可得A的特征值为:,对于1=1时,解方程 (I-A)X=0,由,得基础解系:,所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 :,对于2= 3=3时,解方程(3I-A)X=0,由,得基础解系:,所以属于特征值2= 3=3 的全部特征向量是:,,,,,,三、矩阵特征值、特征向量的性质,性质1 方阵A与AT的特征值相同。,,,思考题,思考题解答,4.2 相似矩阵和矩阵的对角化,一、相似矩阵,二、矩阵的对角化,,,一、相似矩阵,问题引入:,使得 P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说A与B相似,记作A~B 。,注意:矩阵的等价与相似的区别,定义 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆阵P,,对A进行的运算P -1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。,问题1 矩阵A满足什么条件,才能和对角矩阵相似?,问题2 若矩阵A与对角矩阵相似,如何求P、B?,由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系,具有如下性质(1) 反身性 A~A;(2) 对称性 若A~B,则B~A;(3) 传递性 若A~B,B~C,则A~C。,,,推论2 相似矩阵的行列式相同,迹相同,秩也相同。,推论3 相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时其逆矩阵也相似。,二、矩阵的对角化,定理2 n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。,,,#,,,解 先求特征值与特征向量:,,推论1 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个 ni (i=1,2,…,s)重特征值对应有ni 个线性无关的特征向量。,推论2 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个 ni (i=1,2,…,s)重特征值i对应矩阵iI-A的秩为n-ni 。,A的特征多项式为:,因此A的特征值为,对于1=1时,解方程(I-A)X=0,由,得基础解系,即一个线性无关的特征向量,类似地,通过解线性方程组(2I-A)X=0,得 A的另二个线性无关的特征向量为,所以,矩阵A可对角化,且相似变换矩阵可取为,,而,因此,例2 设3阶方阵A, 和 都不可逆,问A能否对角化?若能,写出其对角阵。,解 A能对角化。由题设,A有0,4,-5三个不相等 的特征值,从而它有三个线性无关的特征向量。,,,,,,,,4. 3 实对称矩阵的特征值和特征向量,一、向量内积 二、正交向量组 三、正交矩阵 四、实对称矩阵的特征值和特征向量 五、实对称矩阵的对角化,,一、向量内积,二、正交向量组,例1 零向量与任何向量的内积等于零,因此零向量与任何向量正交。 例2 Rn中初始单位向量组1, 2 ,,n是两两正交的,即 Ti j =0。,一个向量空间的正交基是不唯一的。,问题:,施密特(Schimidt)正交化过程,则 为一组正交向量组,且与 等价。,再将 单位化,得到一个单位正交向量组,上述向量组的正交化方法称为施密特正交化方法。,三、正交矩阵,定理3 实对称矩阵的特征值为实数。,四、实对称矩阵的特征值与特征向量,五、实对称矩阵的对角化,由于它们是属于不同特征值的特征向量,故正交。,例2 设,。求正交矩阵Q,使QTAQ,解: 因为A为实对称矩阵,所以这样的正交矩阵Q必存在。,为对角阵。,(1) A的特征多项式为,(2)对于1= 2=-1, 解方程组(-I-A)X=0, 由,取其基础解系,可得线性无关的特征向量,正交化, 得,再单位化,得,对于3=2, 解方程组(2I-A)X=0, 由,取基础解系, 可得线性无关的特征向量,再单位化,得,(3)令,则Q为正交矩阵, 且,,为什么?,,注:也可求正交阵Q,从而Q -1= Q T来求A:A= Q TQ,,#,2006年考研,,,,使A对角化的矩阵Q 是唯一的吗?,,
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