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线性代数(赵树嫄)第二章课件.ppt

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线性代数(赵树嫄)第二章课件.ppt
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Ch2 矩 阵,本章介绍矩阵的概念、矩阵的运算、逆矩阵、分块矩阵及计算、矩阵的初等变换等。,矩阵是从生产实践和科学技术问题中抽象出来的一个数学概念,它在线性代数中既是最基本的研究对象,又是最重要的研究工具,它贯穿线性代数的各个方面。,1、理解矩阵概念,知道零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵等特殊矩阵。2、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。3、知道矩阵的分块方法。4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。5、熟练掌握矩阵的初等变换。,本章基本要求,本章重点,矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。,§1 矩阵的概念,在很多实际问题中,我们常常会碰到具有m个方程n个末知量的最一般形式的线性方程组:,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原来相对位置不变可排为,,定义1 由mn个数aij( i=1, 2,…,m ; j=1, 2,… , n)排列成的m行n列的数表:,简记为(aij)m × n, aij表示矩阵A的第i行、第j列的元素。,称为m行n列的矩阵,简称为m×n阶矩阵。常记为,矩阵通常用大写字母A、B、C等表示。,元素是实数的矩阵称为实矩阵,,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,,是一个 复矩阵,,是一个 矩阵,,是一个 矩阵,,是一个 矩阵.,方阵A的元素按原来相对位置不变所构成的n阶行 列式称为方阵A的行列式,记为|A|或detA。,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵 (1)n阶方阵,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角 矩阵(或对角阵).,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量)。,记作,(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵, 零 矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不一样的.,例如,(5)单位矩阵,称为单位矩阵(或单位阵)。,同型矩阵与矩阵相等的概念,1、两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。,2.两个矩阵A=(aij),B=(bij) 为同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称矩阵A与B相等,记作,例如,为同型矩阵.,(6) 上(下)三角矩阵,(7) 对称阵与反对称阵,(8) 负矩阵,例如,则,§2.2 矩阵的运算,矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个有规律的数表形式,更重要的是在于当我们对它定义了一系列运算后,矩阵可以像数一样运算,从而使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。,定义 设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那末矩阵A和B的和记作A+B,规定为,一、矩阵的加法,例1 有某种物资(单位:吨)从3个产地运往4个销地,两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B:,则从各产地运往各销地两次的物资调运量(单位:吨)共为:,矩阵加法满足下列运算规律: 性质1 设A、B、C是同型矩阵,则(1)交换律:A+B=B+A;(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=A,其中O是与A同型的零矩阵。矩阵的减法:,显然有 A-A=O,二、数乘矩阵,定义 数与矩阵A的乘积记作 A,规定为:,例1 设有3个产地与4个销地的里程(单位:公里),为矩阵A:,如果运费为1.5元/公里,则运费矩阵为:,矩阵的数乘满足下列运算规律: 性质2 设A,B是同型的矩阵,  、为常数,则(1)()A= (A) = (A);(2) (+)A = A+ A;(3) (A+B)= A+ B;(4) A=O,当且仅当 =0或A=O。 矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。,显然, (-1)A=-A,-(-A )=A。,例子,设有两个线性变换,(2.1)称为从变量Y 到变量X的线性变换; (2.2)称为从变量X 到变量T 的线性变换。,三、矩阵与矩阵相乘,它们的系数矩阵分别是,如要求出从Y(y1,y2)到T(t1,t2)的线性变换,可将(2.2)代入(2.1),便得:,观察(2.1) 、(2.2)、(2.3)所对应的矩阵的关系 :,由此我们定义它们之间关系为矩阵的乘积,即,一般地,,记为C=AB。 (2.4)式表明,乘积矩阵AB的i行j列位置上的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。,,,,即,例1,设,例2,,,,,,,故,解,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时,两个矩阵才能相乘.,例如,没有意义。,=10,解:,由矩阵的定义及上述例题可知,矩阵乘法与普通数的乘法有根本的差别,应特别引起注意。,例5,利用矩阵的乘法,线性方程组(1.1)可以写成矩阵形式。设线性方程组(1.1)的系数组成m×n矩阵:,末知数和常数项分别组成n×1与m×1列矩阵(列向量):,这样线性方程组(1.1
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