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第9讲 二元一次方程的整数解(含答案).doc

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第9讲 二元一次方程的整数解(含答案).doc
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- 1 -(9)二元一次方程的整数解【知识精读】1、 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程 ax+by=c 中,若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果(a,b)|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立,方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解,∵( 9, 3)=3,而 3 不能整除 10;(4,2)=2,而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的 a,b 实为它们的绝对值。2、 二元一次方程整数解的求法:若方程 ax+by=c 有整数解,一般都有无数多个,常引入整数 k 来表示它的通解(即所有的解)。k 叫做参变数。方法一:整除法:求方程 5x+11y=1 的整数解解:x= = (1) , 51yyy2510设 是整数),则 y=1-5k (2) , k(把(2)代入(1)得 x=k-2(1 -5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是 (k 是整数)yx51方法二:公式法:设 ax+by=c 有整数解 则通解是 (x 0,y0 可用观察法)0yxakyb03、 求二元一次方程的正整数解:i. 出整数解的通解,再解 x,y 的不等式组,确定 k 值ii. 用观察法直接写出。【分类解析】例 1 求方程 5x-9y=18 整数解的能通解- 2 -解:x= 53253105918yyy设 (k 为整数),y=3-5k, 代入得 x=9-9k 3∴原方程整数解是 (k 为整数) yx539又解:当 x=o 时,y= -2,∴方程有一个整数解 它的通解是 ( k 为整数)0yxyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解解:x= (1),520561yy设 (k 为整数),则 y=5k,(2)k把(2)代入(1)得 x=20-6k,∵ 解不等式组0yx0562k得 0<k ,k 的整数解是 1,2,3,62∴正整数解是 54yx085yx例 3 甲种书每本 3 元,乙种书每本 5 元,38 元可买两种书各几本?解:设甲种书买 x 本,乙种书买 y 本,根据题意得3x+5y=38 (x,y 都是正整数)∵x= 1 时, y=7,∴ 是一个整数解71y∴通解是 (k 为整数)35解不等式组 得解集是 ∴整数 k=0,1,20713751k把 k=0,1,2 代入通解,得原方程所有的正整数解 yx46yx- 3 -答:甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。【实战模拟】,1、 求下列方程的整数解①公式法 :x+7y=4, 5x-11y=3②整除法 :3x+10y=1, 11x+3y=42,、求方程的正整数解:①5x+7y=87;② 5x+3y=1103、一根长 10000 毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长 300 毫米,乙种毛坯长 250 毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?4、兄弟三人,老大 20 岁,老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97,求兄弟三人的岁数。5、下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号)①4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,④18x- 9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.6、一张试巻有 20 道选择题,选对每题得 5 分,选错每题反扣 2 分,不答得 0 分,小这军同学得 48 分,他最多得几分?7、用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解:y= 1 4 -2x= 37y- 4 -参考答案1. 公式法① 由特解 得通解 (k 为整数)04yxyx074②由特解 得通解 (为 k 整数)25521整除法①∵x= = -3y,……∴通解是 (k 为整数)310yyx310②通解是 (k 为整数)yx52. ① ② - ……16912kyx503202<< k3. 有 6 种截法 345乙 =甲 = 28乙 =甲 = 1乙 =甲 = 6乙 =甲 = 15乙 =甲 = 9乙 =甲 =4. 16,13 5. A,D. 6. 12 7.(略)
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