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第4讲 简单最值问题.doc

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第4讲 简单最值问题.doc
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学科:奥数 教学内容:第 4 讲 简单最值问题知识网络我们把研究某种量(或几种量)在一定条件下取得最大值或最小值的问题,称为最大与最小问题。此类问题涉及很广,本讲以向同学们讲解解决此类问题的思维方法为主。重点·难点虽然求最大和最小问题无固定的解法,但结合问题出现的不同的知识点,求解还是有章可循的。关键是要注意分析一些隐含着的限制条件。学法指导解题是一种实践性较强的技能,就像游泳、滑雪或弹钢琴一样,要通过模仿、练习和钻研来掌握。学习中还要注意去发现并总结规律,将其应用到其他题目的求解中去,往往会起到事半功倍的作用。经典例题[例 1]把 14 分解为两个自然数的和,使它们的乘积最大,求这个最大的乘积。思路剖析先列出 14 可能分解成的两个自然数的和的所有情况:14=1+13,1× 13=13;14=2+12,2×12=24;14=3+11,3 ×11=33,14=4+10,4×10=40;14=5+9, 5×9=45;14=6+8,6×8=48;14=7+7,7×7=49 。由上述算式可观察到,随着拆成的两个数越来越接近,积越来越大。因此将 14 拆成两个相等的数时,乘积最大。解答把 14 分解为两个相等的数的和:14=7+7,它们的积最大,为 7×7=49。点津由此题的求解,我们可以得到这样一个规律性的结论:当两个数和一定时,在它们相等时,乘积最大;在它们不相等时,两数差距越大,乘积越小。应用此规模很容易判断:49×51 与 48×52 的大小是:49×51>48×52。[例 2]已知:A 、B、C、D、E、F、G 、H 是 0~9 中的 8 个不同的整数。构成算式194EFH,其中, 、 均为四位数,且 A≠0,E≠0。求: 与 之和的最大值及最小值。思路剖析将题中已知的算式转化成加法为: ABCDEFGH194。注意到 A、 B、C、D、E、F、G、H 为8 个不同的数,那么为使千位上 F 与 B 不重复,则百位上求和不能有进位,相应的个位求和值也不能超过 10。由此可确定 G=0,C=9,D=H+4。设 EFGHABCDM,为使 M 值最大,则首位数字应尽可能大,由于 C=9,则A≠9,那么取 A=8,由于 G=0,则 F≠0,那么 F+9>10 ,则 E+l+l=A,可知 E=6。其次应使百位数字 B 尽可能大,由于 F+9=10+B,那么 F 与 B 是相邻自然数,剩下的数中只有4、5 相邻,则 F=5,B=4 。最后使个位数字 D 尽可能大,则取 D=7,那么 H=3。这样可得M 的最大值:8497+6503=15000。为使 M 的值最小,那么取 A=3,因为 E+l+l=A,所以 E=l,B 值取尽可能小的,且 F与 B 是相邻的自然数,则 F=5,B=4 。最后使个位数字 D 尽可能小,则取 D=6,那么 H=6-4=2。这样可得 M 的最小值: 3496+150=4998解答 ACD与 EFGH和的最大值:15000最小值:4998。点津适当地改变已知条件的形式,将减法变成加法,有利于问题的思考。[例 3]如图 1,在 6×6 的方格纸上。P 点在直线 AB 上滑动,那么(PC+PD)长度的最小值是多少?思路剖析欲使(PC+PD)值最小,在 PD、PC 中含有三个字母,恰好构成△PCD,而(PC+PD)是其中的两边之和,DC 为第三边。由三角形的性质,易想到两边之和大于第三边,即 PC+PD>DC 。则 DC 应为 PC 与 PD 和的最小值。解答当 P 点滑动到使 C、P、D 三点在一条直线上时, (PC+PD)的值最小。此时PC+PD=DC,DC 长度为 6。答:(PC+PD)长度的最小值是 6。点津恰当地应用几何图形的性质,有助于问题的解决。[例 4]商店进玩具熊若干,每三个一数则余下一只,若每五个一数则还差 4 个。问商店至少进了多少只玩具熊?思路剖析由题中条件“若每五个一数还差 4 个” ,亦可理解为每五个一数余下一个。再加上第一个条件, “每三个一数余下一只” ,说明玩具的总数若减去 1 之后,应既是 3 的倍数,又是5 的倍数。因为 3、5 互质,则这样的数最小为 3×5=15。解答3×5+l=15+1=16(只)答:商店至少进了 16 只玩具熊。[例 5]老师要给班里的 37 名同学每人发一支红笔和一支蓝笔,商店中每种笔都是 5支一包或 3 支一包,不能打开包零售。5 支一包的红笔 60 元,蓝笔 70 元;3 支一包的红笔38 元,蓝笔 47 元。请你帮助老师设计一下购买方案,怎样买才能花钱最少?花多少钱?思路剖析先来比较一下两种红笔的单价 5 支一包单价 60÷5=12(元) 。3 支一包的单价38÷3=12…2,即 5 支一包的红笔较便宜。再来比较两种蓝笔的单价:5 支一包单价7
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