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第6讲--两体问题.doc

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第6讲--两体问题.doc
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两体问题将两体问题简化为两个单个粒子问题然后讨论中心势场中单粒子问题束缚态问题,碰撞问题和衰变问题经典散射截面,以刚体为例,给出从质心坐标到实验室坐标的变换方法一.两体问题,质量约化1.两体问题中的拉格朗日函数体系的动能: 22100Tmrmr质心坐标: 1020ocmrrr相对坐标: 0102rr体系的势能: () ()e iocVrVr两个粒子 6 个自由度,取 为广义坐标,;ocr拉格朗日函数:其中:约化质量上式中 是关于质心的拉格朗日函数, 是两个粒子间相对运动的拉格1,ocLr 22,Lr朗日函数。 为约化质量(折合质量) 。rm质心系中: ,0ocr拉格朗日函数: 2() () 21 1eiocLmrVrVrmrU 当 时,12m; 112rm101 021 22;ococmrrrrrm表明:重质点 固定在质心位置不动,成为“力心” ,轻质点 在它所产生的有心力场中运动!2m 1m2.有心立场中运动的一般分析:(1)角动量守恒,等面积定律:在有心立场中,角动量 守恒,运动中,位矢 与角动量 始终垂直,质点始终在垂直于JrPrJ德平面上运动,选取极坐标,拉格朗日函数为:J 221LmrUr式中不显含变量 ,则 为循环变量,对应的广义动量: 2LPr守恒,对于任意的平面运动,在时刻 有位矢 ,经过 时刻后到达 ,该过程中t()rtt()rtt位矢扫过的面积为 :A2rA则: 21PdArtm在单位时间内位矢 扫过的面积为常数!即在有心力场中,位置矢经在相同时间内扫过的面积()rt相等---等面积定律。(2)能量守恒 运动形式的分类由于拉格朗日方程不显含时间,因此该系统能量守恒: 221()EmrVrconst将 代入上式:2LPmr 222 211()()PErmrVrmrVrconstmr 上式中只包含一个变量 ,类似于一维运动的情况,其中:r动能项(运动项):21m势能项: ,其中: 为离心势能2()ef PVrrr2Pmr作用到质点上的力: 23efefVPFFrrmr223Prm心在 中出现惯性离心力的原因是由于上述等效于一维运动,实质上是在以角速度 转动的坐标系efF 中观察质点的运动,而转动坐标系是非惯性坐标系。运动的分类:等效势能 随 的变化有两种,一种是单调下降的(能量 ) ,另一种如图:()efVr 0E(1) 时,r()0;()0efVrVr(2) 时, 可能趋于正无穷(相斥)0也可能趋于负无穷(相吸)假定,即使两质点相吸,使得 趋于负无穷,()Vr但是也不能和离心势能相抵消,也就是说,假定吸引力不是太强,因而,当 时, 的绝对值0r()r仍然小于离心势能,这样:时,0r()efVr这一条件限制了质点的运动区域。当 质点被限制在 中运动,这是束缚运动。0E12rr等效势能 随 的增加从正无穷降到小于零,到()efVr达极小值 后再上升,从横轴的下方趋于横轴。min()ef这种情况下,能量 可以大于零也可以小于零。但是E由于 的第一项不能为负,因221()PEmrVrmr此 不能小于 。即:()efrefEVC E当 时,运动的区域是: ,在无限空间0ECr运动,当 时,为过渡情况,此时质点可能运动无穷空间, 0infEcostraiedmotin在 时,质点运动是由无穷远处减小到 然后再增Cr加到无穷远处。此时 也发生相应的变化,因此这是从无穷远处飞来受到“力心”的作用,而改变方向飞向无穷远处的“散射”问题。束缚运动和散射是两类不同的问题。(3). 运动方程的解应用: 222 211()()PEmrrVrmrVrmr 解出 :r 22PdrEVtmmr积分得: 22drt constPEVmmr由: 得:2Pmr22 21dPmrrdtrPtmd 代入上式: 22PdrdmEVr积分得: 22PdrconstmEVr(4). 比耐公式:由 得:22PdrdmEVr 22PPdrmEVr 令: 211; ;()dudru rr 则上面的方程: 22duPmEVPu 对 求导: 22 22dVdudVmPmduP
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