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南沙区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学.doc

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南沙区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学.doc
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精选高中模拟试卷第 1 页,共 18 页南沙区外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 若圆心坐标为 的圆在直线 上截得的弦长为 ,则这个圆的方程是( )2,110xy2A. B. C.20xy14xyD.8 2262. 已知 m,n 为不同的直线, α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( )A.m⊂α ,n∥ m⇒n∥α B.m⊂ α,n⊥m ⇒n⊥αC.m⊂α,n⊂β ,m∥n⇒α∥ β D.n⊂ β,n⊥ α⇒α⊥β3. 已知 2a=3b=m,ab≠0 且 a,ab ,b 成等差数列,则 m=( )A. B. C. D.64. 如图在圆 中, , 是圆 互相垂直的两条直径,现分别以 , , , 为直径作四OAOOABCD个圆,在圆 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )DABCOA. B. C. D.12112214【命题意图】本题考查几何概型概率的求法,借助圆这个载体,突出了几何概型的基本运算能力,因用到圆的几何性质及面积的割补思想,属于中等难度.5. 已知 a= ,b=2 0.5,c=0.5 0.2,则 a,b,c 三者的大小关系是( )A.b>c>a B.b>a >c C.a >b>c D.c>b>a6. 已知双曲线 kx2﹣y2=1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y﹣3=0 垂直,则双曲线的离心率是( )A. B. C.4 D.7. 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )精选高中模拟试卷第 2 页,共 18 页A. B. C. D.8. sin570°的值是( )A. B.﹣ C. D.﹣9. 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于( )A. B. C. D.10.下列式子表示正确的是( )A、 B、 C、 D、0,232,31,2011.设 a,b,c ,∈R +,则“abc=1”是“ ”的( )A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件12.已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合 为( U{|1,}AxR{|21,}xBRUACB) A. B. C. D.]1,[]1,0[],0()0,[【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识,意在考查运算求解能力.二、填空题13.在极坐标系中,点(2, )到直线 ρ(cosθ + sinθ)=6 的距离为 .14.台风“海马” 以 25km/h 的速度向正北方向移动,观测站位于海上的 A 点,早上 9 点观测,台风中心位于其东南方向的 B 点;早上 10 点观测,台风中心位于其南偏东 75°方向上的 C 点,这时观测站与台风中心的距离 AC 等于 km.15.设 MP 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式:①MP < OM<0;②OM<0<MP;③OM <MP <0;④MP<0<OM,其中正确的是 (把所有正确的序号都填上).16.已知 α 为钝角,sin( +α)= ,则 sin( ﹣α)= .精选高中模拟试卷第 3 页,共 18 页17.设 满足约束条件 ,则 的最大值是____________. ,yx210yx3zy18.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(﹣3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且| |=2,则= .三、解答题19.【徐州市 2018 届高三上学期期中】已知函数 ( , 是自然对数的底数).(1)若函数 在区间 上是单调减函数,求实数 的取值范围;(2)求函数 的极值;(3)设函数 图象上任意一点处的切线为 ,求 在 轴上的截距的取值范围.20.(本小题满分 12 分)已知两点 及 ,点 在以 、 为焦点的椭圆 上,且 、)0,1(F),(2P1F2C1PF、21F构成等差数列.P(I)求椭圆 的方程;C(II)设经过 的直线 与曲线 C交于 两点,若 ,求直线 的方程.2mPQ、 221FPQ=+m21.已知函数 f(x)=cosx( sinx+cosx)﹣ .(1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α )的值;精选高中模拟试卷第 4 页,共 18 页(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.22.已知函数 f(x)=e ﹣x(x 2+ax)在点(0,f (0))处的切线斜率为 2.(Ⅰ)求实数 a 的值;(Ⅱ)设 g(x)=﹣ x(x﹣t﹣ )( t∈R),若 g(x)≥f(x)对 x∈[0,1] 恒成立,求 t 的取值范围;(Ⅲ)已知数列{a n}满足 a1=1,a n+1=(1+ )a n,求证:当 n≥2, n∈N 时 f( )+f( )+L+f( )<n•( )(e 为自然对数的底数,e≈2.71828).23.已知函数 f(x)=sinx﹣ 2 sin2(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值.精选高中模拟试卷第 5 页,共 18 页24.已知 ,且 .(1)求 sinα,cosα 的值;(2)若 ,求 sinβ 的值.精选高中模拟试卷第 6 页,共 18 页南沙区外国语学校 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1. 【答案】B【解析】考点:圆的方程.1111]2. 【答案】D【解析】解:在 A 选项中,可能有 n⊂α,故 A 错误;在 B 选项中,可能有 n⊂α,故 B 错误;在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误;在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确.故选:D.【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3. 【答案】C.【解析】解:∵2 a=3b=m,∴a=log 2m,b=log 3m,∵a,ab,b 成等差数列,∴2ab=a+b,∵ab≠0,∴ + =2,∴ =logm2, =logm3,∴log m2+logm3=logm6=2,解得 m= .故选 C【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用.4. 【答案】精选高中模拟试卷第 7 页,共 18 页【解析】设圆 的半径为 ,根据图形的对称性,可以选择在扇形 中研究问题,过两个半圆的交点分O2OAC别向 , 作垂线,则此时构成一个以 为边长的正方形,则这个正方形内的阴影部分面积为 ,扇AC1 12形 的面积为 ,所求概率为 .2P5. 【答案】A【解析】解:∵a=0.5 0.5,c=0.5 0.2,∴0< a<c<1,b=2 0.5>1,∴b> c>a,故选:A.6. 【答案】A【解析】解:由题意双曲线 kx2﹣y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,可得渐近线的斜率为 ,又由于双曲线的渐近线方程为 y=± x故 = ,∴k= ,∴可得 a=2,b=1,c= ,由此得双曲线的离心率为 ,故选:A.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是理解一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,由此关系求 k,熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证.7. 【答案】A【解析】解:由已知中几何体的直观图,我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确;中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故 C 不正确;而对角线的方向应该从左上到右下,故 B 不正确故 A 选项正确.故选:A.【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键.8. 【答案】B精选高中模拟试卷第 8 页,共 18 页【解析】解:原式=sin(720°﹣150°)=﹣sin150 °=﹣ .故选 B【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.9. 【答案】 D【解析】设 的公比为 ,则 , ,因为 也是等比数列,所以 ,即 ,所以因为 ,所以 ,即 ,所以 ,故选 D答案:D10.【答案】D【解析】试题分析:空集是任意集合的子集。故选 D。考点:1.元素与集合的关系;2.集合与集合的关系。11.【答案】A【解析】解:因为 abc=1,所以 ,则 == ≤a+b+c.当 a=3,b=2,c=1 时, 显然成立,但是 abc=6≠1,所以设 a,b,c ,∈R +,则“abc=1”是“ ”的充分条件但不是必要条件.故选 A.12.【答案】C.【解析】由题意得, , ,∴ ,故选 C.[1], (,0]B(0,1]UACB二、填空题13.【答案】 1 .精选高中模拟试卷第 9 页,共 18 页【解析】解:点 P(2, )化为 P .直线 ρ(cos θ+ sinθ)=6 化为 .∴点 P 到直线的距离 d= =1.故答案为:1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.【答案】 25 【解析】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km,由正弦定理可得 AC= =25 km,故答案为:25 .【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键.15.【答案】 ②【解析】解:由 MP,OM 分别为角 的正弦线、余弦线,如图,∵ ,∴OM<0<MP.故答案为:②.【点评】本题的考点是三角函数线,考查用作图的方法比较三角函数的大小,本题是直接比较三角函数线的大小,在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小.精选高中模拟试卷第 10 页,共 18 页16.【答案】 ﹣ .【解析】解:∵sin( +α)= ,∴cos( ﹣α)=cos[ ﹣( +α)]=sin( +α)= ,∵α 为钝角,即 <α<π,∴ < ﹣ ,∴sin( ﹣α)<0,∴sin( ﹣α)=﹣=﹣=﹣ ,故答案为:﹣ .【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值,注意不同角之间的关系,正确选择公式,运用平方关系时,必须注意角的范围,以确定函数值的符号.17.【答案】 73【解析】试题分析:画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点 处取得最大值为 .12,3A73精选高中模拟试卷第 11 页,共 18 页考点:线性规划.18.【答案】 (﹣ , ) .【解析】解:∵ , ,设 OC 与 AB 交于 D(x,y)点则:AD:BD=1 :5即 D 分有向线段 AB 所成的比为则解得:∴又∵| |=2∴ =(﹣ , )精选高中模拟试卷第 12 页,共 18 页故答案为:(﹣ , )【点评】如果已知,有向线段 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).及点 C 分线段 AB 所成的比,求分点 C 的坐标,可将 A,B 两点的坐标代入定比分点坐标公式:坐标公式 进行求解.三、解答题19.【答案】(1) (2)见解析(3)【解析】试题分析:(1)由题意转化为 在区间 上恒成立,化简可得一次函数恒成立,根据一次函数性质得不等式,解不等式得实数 的取值范围;(2)导函数有一个零点,再根据 a 的正负讨论导函数符号变化规律,确定极值取法(3)先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程,即得切线在 x 轴上的截距,最后根据 a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围.试题解析:(1)函数 的导函数 ,则 在区间 上恒成立,且等号不恒成立,又 ,所以 在区间 上恒成立, 记 ,只需 , 即 ,解得 . (2)由 ,得 ,①当 时,有 ; ,所以函数 在 单调递增, 单调递减,所以函数 在 取得极大值 ,没有极小值.②当 时,有 ; , 所以函数 在 单调递减, 单调递增,所以函数 在 取得极小值 ,没有极大值.综上可知: 当 时,函数 在 取得极大值 ,没有极小值;当 时,函数 在 取得极小值 ,没有极大值.精选高中模拟试卷第 13 页,共 18 页(3)设切点为 ,则曲线在点 处的切线 方程为 ,当 时,切线 的方程为 ,其在 轴上的截距不存在.当 时,令 ,得切线 在 轴上的截距为, 当 时,,当且仅当 ,即 或 时取等号; 当 时,,当且仅当 ,即 或 时取等号.所以切线 在 轴上的截距范围是 .点睛:函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点,再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求 →求方程 的根→列表检验 在 的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数 在点 处取得极值,则 ,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.20.【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识,意在精选高中模拟试卷第 14 页,共 18 页考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力.(II)①若 为直线 ,代入 得 ,即 , m1x1342yx23) ,1(P)23, (Q直接计算知 , , , 不符合题意 ; 29PQ=5|||22QF2F¹+1x②若直线 的斜率为 ,直线 的方程为k()ykx=-由 得 )1(342xky 0148)4(222 x设 , ,则 , ,P2,Qy2213k221431kx由 得,21F=+0FPQ×=即 ,)(21x 0)()()(2121 x)()(21xkk代入得 ,即 043843222 k972k解得 ,直线 的方程为 7km)1(7xy21.【答案】 【解析】解:(1)∵0<α< ,且 sinα= ,精选高中模拟试卷第 15 页,共 18 页∴cosα= ,∴f( α)=cosα( sinα+cosα)﹣ ,= ×( + )﹣= .(2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ .=sinxcosx+cos2x﹣= sin2x+ cos2x= sin(2x+ ),∴T= =π,由 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z ,∴f( x)的单调递增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z.22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x) =e﹣x(x 2+ax),∴f′(x)=﹣e ﹣x(x 2+ax)+e ﹣x( 2x+a)=﹣e ﹣x(x 2+ax﹣2x﹣a);则由题意得 f′( 0)=﹣(﹣ a)=2,故 a=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e ﹣x(x 2+2x),由 g(x)≥f(x)得,﹣x( x﹣t﹣ )≥e ﹣x(x 2+2x),x∈ [0,1];当 x=0 时,该不等式成立;当 x∈(0,1]时,不等式﹣x+t+ ≥e﹣x(x+2 )在(0,1]上恒成立,即 t≥[e﹣x(x+2)+x﹣ ]max.精选高中模拟试卷第 16 页,共 18 页设 h(x)=e ﹣x(x+2)+x ﹣ ,x∈ (0,1] ,h′(x)= ﹣e﹣x(x+1 )+1 ,h″(x) =x•e﹣x>0,∴h′(x)在(0,1]单调递增,∴h′(x)>h′ (0)=0,∴h(x)在(0,1]单调递增,∴h(x) max=h(1)=1 ,∴t≥1.(Ⅲ)证明:∵a n+1=(1+ )a n,∴ = ,又 a1=1,∴n≥2 时,a n=a1• •…• =1• •…• =n;对 n=1 也成立,∴a n=n.∵当 x∈(0,1]时,f′ (x)=﹣e ﹣x(x 2﹣2)>0,∴f(x)在[0 ,1] 上单调递增,且 f(x)≥ f(0)=0.又∵ f( )(1≤i≤ n﹣1,i∈N )表示长为 f( ),宽为 的小矩形的面积,∴ f( )< f(x)dx,(1≤i ≤n﹣1,i∈N),∴ [f( )+f( )+…+f( )]= [f( )+f( )+ …+f( )]< f(x)dx.又由(Ⅱ),取 t=1 得 f(x)≤g(x)=﹣x 2+(1+ )x,∴ f(x)dx≤ g(x)dx= + ,∴ [f( )+f( )+…+f( )]< + ,∴f( )+f( )+…+f( )<n( + ).精选高中模拟试卷第 17 页,共 18 页【点评】本题考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力.23.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x) =sinx﹣2 sin2=sinx﹣2 ×=sinx+ cosx﹣=2sin(x+ )﹣∴f(x)的最小正周期 T= =2π;(2)∵x∈[0, ],∴x+ ∈[ ,π],∴sin(x+ )∈[0,1],即有: f(x)=2sin (x+ )﹣ ∈[﹣ ,2﹣ ],∴可解得 f(x)在区间[0, ]上的最小值为:﹣ .【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.24.【答案】 【解析】解:(1)将 sin +cos = 两边平方得:(sin +cos )2=sin2 +2sin cos +cos2 =1+sinα= ,∴sinα= ,∵α∈( ,π),∴cosα= ﹣ =﹣ ;(2)∵α∈( ,π),β∈(0, ),∴α+β∈( , ),精选高中模拟试卷第 18 页,共 18 页∵sin(α+β)=﹣ <0,∴α+β∈(π, ),∴cos(α+ β)= ﹣ =﹣ ,则 sinβ=sin=sin(α+ β)cosα﹣cos(α+β)sinα=﹣ ×(﹣ )﹣(﹣ )× = + = .【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌握公式是解本题的关键.
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