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高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题.doc

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第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容(1.1、1.2)邻域(即 )axaU, ,Uaxa(000 ,0x)两个要素:对应法则 以及函数的定义域fD由此,两函数相等 两要素相同;(与自变量用何字母表示无关)解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数;局部有界性对集合 ,若存在正数 ,使对所有 ,恒有 ,称XMXxMxf函数 在 上有界,或 是 上的有界函数;反之无界,即任意正数xff(无论 多大) ,总存在(能找到) ,使得Mx0xf0局部单调性区间 ,对区间上任意两点 ,当 时,恒有:DI2121,称函数在区间 上是单调增加函数;21xffI反之,若 ,则称函数在区间 上是单调减小函数;fI奇偶性设函数 的定义域 关于原点对称;若 ,恒有 ,xfDDxxff则称 是偶函数;若 ,恒有 ,则称 是奇xf函数;函数函数特性周期性若存在非零常数 ,使得对 ,有 ,且TTx,则称 是周期函数;xfff几类基本初等函数:幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数;初等函数 反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数第 3 章 中值定理与导数的应用内容概要名称 主要内容(3.1、3.2)名称 条件 结论罗尔中值定理:(1)在 上连续;(2)在)(xfy][a,b内可导;(3)a,b)(ff至少存在一点 使得)(a,bξ0)(/f拉格朗日中值定理:(1)在 上连续;(2)在)(xfy][a,b内可导a,b至少存在一点 使得)b,a()(/ξff3.1 中值定理柯西中值定理、 :(1)在 上连续,在)(xfg][,内可导;(2)在 内每点处, )(ab0)(/x至少存在一点 使得)(,abfξgf)(/基本形式 型与 型未定式通分或取倒数化为基本形式 1) 型:常用通分的手段化为 型或 型;02) 型:常用取倒数的手段化为 型或 型,即:0或 ;1/1/3.2 洛必 达法则取对数化为基本形式 1) 型:取对数得 ,其中00ln0e或 ;ln/ 1/02) 型:取对数得 ,ln1e其中 0l1/或 ;n3) 型:取对数得 ,0ln0e其中 l1/或 。0n0函数,极限与连续2,1,22xxy知识点:间断点类型及判定;思路: 间断点类型取决于左右极限是否存在,故要分别求间断点的左右极限;(2) 时, ,左右极限相等, 1x21lim21li31lim21 xxxxx∴是第一类中的可去间断点,补充定义 可使函数在该点处连续;y时, ,∴是第二类无穷间断点;2x 21li31li2xxx★ ★ 6.设 ,已知 在 处连续,试确定 及 的值。xxbaf 0,ln,2f0xab知识点:左右连续;思路:在 处连续,有 ,并据此列式求解;0x00fff解: 在 处连续当且仅当 在 处既左连续又右连续;f x由 ; ebabfaxbx 1ln10limlni 2020111 第二章 导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义 000()(()limxfxffh00()()lixfxf函数的求导法则(1) 导数的四则运算法则i.[()]()uvuxvii. ()xxiii. 2()()[] 0vxvv(2) 复合函数的求导法则(链式法则)dyux隐函数的导数(1) 求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量 求导,凡遇到含有因变量x的项时,把 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出y dyx(2) 对数求导法:对幂指函数 ,可以先在函数两边取对数 ,然后在等式两边同时对自变()vxu量 求导,最后解出所求导数x反函数的导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即,其中 为 的反函数1()fxy()xy()fx高阶导数(1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2) 间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3) 莱布尼茨公式 ()0nkuvCuv习题 2-2★ 1. 计算下列函数的导数:知识点:基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路:利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(11) 2loglnyx解: 2221()(log(l)0loglnxxx ★ 6.求下列函数的导数:知识点:导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路:利用导数的四
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