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数学建模方法详解--16种常用算法.doc

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数学建模方法详解-- 三十四种常用算法目录一、主成分分析法 2二、因子分析法 5三 、 聚 类 分 析 .9四、最小二乘法与多项式拟合 16五、 方 差 分 析 法 .22六、逼近理想点排序法 27七、动态加权法 28八、灰色关联分析法 30九、灰色预测法 32十、模糊综合评价 34十一、时间序列分析法 36十二、蒙特卡罗(MC)仿真模型 41十三、BP 神经网络方法 .43十四、数据包络分析法(DEA) 50十五、多因素方差分析法(基于 SPSS) .53十六、拉格朗日插值 69一、主成分分析法一) 、主成分分析法介绍:主成分分析(principal components analysis,PCA)又称:主分量分析,主成分回归分析法。旨在利用降维的思想,把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中,使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上,第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上,依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数,同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是,这也不是一定的,要视具体应用而定。 二) 、主成分分析法的基本思想:在实证问题研究中,为了全面、系统地分析问题,我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标,在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息,并且指标之间彼此有一定的相关性,因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时,变量太 多会增加计算量和增加分析问题的复杂性,人们希望在进行定量分析的过程中,涉及的变量较少,得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的,是解决这类题的理想工具。 同样,在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中,我们常常会选用几个有代表性的综合指标,采用打分的方法来进行评估,故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述,主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点,通过对原始变量相关矩阵内部结构 的关系研究,找出影响科普效果某一要素的几个综合指标,使综合指标为原来变量的线 性拟合。这样,综合指标不仅保留了原始变量的主要信息,且彼此间不相关,又比原始 变量具有某些更优越的性质,就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时,容易抓住主 要矛盾。 上述想法可进一步概述为:设某科普效果评估要素涉及个指标,这指标构 成的维随机向量为。对作正交变换,令,其中为正交阵,的各分量是不相关的,使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释,这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分,削除对这一要素影响微弱的部分,通过对主分量的重点分析,达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合,不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系,主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中,找出一些主要成分,以便有效地利用大量统计数据,进行科普效果评估分析,使我们在研究科普效果评估问题中,可能得到深层次的一些启发,把科普效果评估研究引向深入。 例如,在对科普产品开发和利用这一要素的评估中,涉及科普创作人数百万人、科 普作品发行量百万人、科普产业化(科普示范基地数百万人)等多项指标。经过主成分分析计算,最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标,变量数减少,并达到一定的可信度,就容易进行科普效果的评估。三) 、主成分分析法的数学模型:其中:为第 j 个指标对应于第 个主成分的初始因子载荷,为第 l 个主成分对应的特征值根据主成分表达式得出综合得分模型:四) 、主成分分析法的基本原理:主成分分析法是一种降维的统计方法,它借助于一个正交变换,将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量,这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵,在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系,使之指向样本点散布最开的 p 个正交方向,然后对多维变量系统进行降维处理,使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统,再通过构造适当的价值函数,进一步把低维系统转化成一维系统。五) 、主成分分析法的作用:概括起来说,主成分分析主要由以下几个方面的作用。 1.主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。即用研究 m 维的 Y 空间代替 p 维的 X 空间(m<p) ,而低维的 Y 空间代替 高维的 x 空间所损失的信息很少。即:使只有一个主成分 Yl(即 m=1)时,这个 Yl 仍是使用全部 X 变量(p 个) 得到的。例
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