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模拟退火算法的旅行商问题.doc

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I人 工 智 能 原 理实 验 报 告模拟退火算法解决 TSP 问题II目 录1 旅行商问题和模拟退火算法 .11.1 旅行商问题 11.1.1 旅行商问题的描述 .11.2 模拟退火算法 11.2.1 基本思想 .12 TSP 模拟退火算法的实现 22.1 TSP 算法实现 .22.1.1 TSP 算法描述 22.1.2 TSP 算法流程 32.2 TSP 的 C 实现 42.2.1 加载数据文件 .42.2.2 计算总距离的函数 .52.2.3 交换城市的函数 .52.2.4 执行模拟退火的函数 .52.3 实验结果 .62.4 小结 .63 源代码 611 旅行商问题和模拟退火算法1.1 旅行商问题1.1.1 旅行商问题的描述旅行商问题(Traveling Salesman Problem,简称 TSP)又名货郎担问题,是威廉·哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼(T.P.Kirkman)于 19 世纪初提出的一个数学问题,也是著名的组合优化问题。问题是这样描述的:一名商人要到若干城市去推销商品,已知城市个数和各城市间的路程(或旅费) ,要求找到一条从城市 1 出发,经过所有城市且每个城市只能访问一次,最后回到城市 1 的路线,使总的路程(或旅费)最小。TSP 刚提出时,不少人认为这个问题很简单。后来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单,易于为人们所理解,而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数,属于相当难解的问题。这个问题数学描述为:假设有 n 个城市,并分别编号,给定一个完全无向图 G=(V,E) ,V={1,2,…,n},n1。其每一边(i,j) E 有一非负整数耗费 Ci,j(即上的权记为 Ci,j,i,j V)。并设 1,ij0{ijX边 ( , ) 在 最 优 线 路 上, 其 他G 的一条巡回路线是经过 V 中的每个顶点恰好一次的回路。一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。TSP 问题就是要找出 G 的最小耗费回路。1.2 模拟退火算法模拟退火算法由 KirkPatrick 于 1982 提出 [7],他将退火思想引入到组合优化领域,提出一种求解大规模组合优化问题的方法,对于 NP-完全组合优化问题尤其有效。模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其缓慢降温(即退火),使之达到能量最低点。反之,如果急速降温(即淬火)则不能达到最低点。加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而缓慢降温时粒子渐趋有序,在每个温度上都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据 Metropolis 准则,粒子在温度 T 时趋于平衡的概率为 exp(-E/(kT)),其中 E 为温度 T 时的内能 , E 为其改变量,k 为 Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能 E 模拟为目标函数值f,温度 T 演化成控制参数 t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解 i 和控制参数初值 t 开始,对当前解重复产生“新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减 t 值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值 t 及其衰减因子 a、每个 t 值时的迭代次数 L 和停止条件 C。1.2.1 基本思想模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解 3 部分。其基本思想是:(1)初始化:初始温度 T(充分大),初始解状态 s(是算法迭代的起点 ),每个 T 值的迭代次数 L;(2)对 k=1,…… ,L 做第(3)至第 6 步;(3)产生新解 s′;(4)计算增量 cost=cost(s′)-cost(s),其中 cost(s)为评价函数;(5)若 t′ 0 则接受 s′作为新的当前解,否则以概率 exp(-t′/T)接受 s′作为新的当前解;( 1-)2(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法;(7)T 逐渐减少,且 T 趋于 0,然后转第 2 步运算。 具体如下(1)新解的产生和接受模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下 4 个步骤:①由一个函数从当前解产生一个位于解空间的新解。为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。②计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。③判断新解是
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